线性代数课后习题答案 1.3

线性代数 浙大版 课后习题答案 题目和解题过程都有,很详细

习题1.3

a11

1. 设D a21

a12a22a32a32a22a12a33a23a31

a13

a23 a 0, 据此计算下列行列式(要求写出计算过程): a33a33

2a11

3a13 5a12

a12a22. a32

a23; (2) 2a213a23 5a22a312a313a33 5a32

a11 a21

a31

a12a22a32a12a22a32

C23

a31a31

(1) a21

a11a31

解 (1) a21

分析 利用行列式得性质找出所求行列式与已知行列式的关系.

a32a22a12

R13

a13

a23= a. a33

C2 5C3

a11

2a11

(4) 方法一 2a21

3a13 5a123a23 5a223a33 5a32a11

a13a23a33

a12a22a32

2a113a13a12a22 a32

2a31

提取公因子

2a213a232a313a33a12a22a32

a13

a11 6a21

a31

6a21a31a23= 6a. a33

方法二 注意到该行列式的第二列均为2个数的和, 可用行列式的性质5将该行列式分成2个行求和, 结果与方法一相同.

2. 用行列式性质计算下列行列式(要求写出计算过程):

19981999

(1) 2001

2000ab c1

x1y1x1y2x2y2x3y2

x1y3x2y3; x3y3

20022003; (2) b200420052006c

c a1; (3) x2y1

x3y1a b1

10

02(4)

0 340

2

(7)

0 120

; (5)

3004

1 1

1

11141111123411

; (6)

410201000401

2a

2a

2b2c

101101; 11

a b c

1; (8)

201102 99

4

b c a2b. 2cc a b

分析 第(1)至第(4)小题可利用行列式性质求解; 第(5)至第(9)小题是采用归结化简为上

(下)三角行列式求解.

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19981999

解 (1) 2001

2000

20022003200420052006a

b c1c a1a b1x1y2x2y2x3y2

x1y3x2y3x3y3

C2 C1

C3 C2

199819991200120021200420051

C2 C1

199811200111=0; 200411

aa b c1ba b c1c

a b c1

(2) b

性质4

0;

c

x1y1

(3) x2y1

提取每行的公因子

y1

x1x2x3y1

y1

y2y2y2

y3y3y3

性质4

0;

x3y1

1002

(4)

0 34011

(5)

14

0 1

20C3 C230C4 C10410020 34000600

0下三角形

1 2 6 8=96;

08

1111111111

R2 R1

234性质32340123

R3 R14 4

410204102003919

R R

004001410 1 10

1

0400

1100112331013

111

R4

13R3

131013

上三角形

R3 3R2R4 R2

0124003

( )

000

1

4 1 1 3 ( )= 4.

3

注 做到( )处也可以按第一列展开, 再按第一列展开得:

310

原式 4 4 (9 10) 4.

13

11

(6)

10110110110

1R2 R11R3 R1111100 10 1001101111R2401110 10100 10

1R3 R21110001111010 101 21

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1R4 R30

00

2

1

1

11 (7) 4

201102 99

a b c

(8)

C3 C2

1100

24

11100

1上三角形

1 1 1 3=3;

23

1 1

00

R1 R2

64

0 1

00

下三角形

18;

20110232a

R1 R2 R3

2011023

a b ca b ca b c2b2c1

b c a2c

2b c a b

2a

2b2cb c a2b2cc a b

1

提取公因子

1

(a b c)2bb c a2b

2c2cc a b

1

1

1

R2 (2b)R1

(a b c)0 b c a0=(a b c)3.

R3 (2c)R1

00 c a b

注记 行列式的计算可有多种解法, 限于篇幅仅列出一种（未必是最简的）, 下面题目

也一样, 不再说明.

3. 用行列式性质计算下列n(n 1)阶行列式(要求写出计算过程):

1

(1) 1

a1a1 a1a1a1 a1

a2a2 a2

a2a2 a2

an 1an 1an 1

a1

; (2)

01

a1 a2 01

0 00

00 . an 11

1a1 b1 1

a2 b2

a2 01

an 1 bn 1

an 1an 1an 1

an 1 1

分析 把行列式归结化简为上(下)三角形行列式来求解.

1a1a2 an 1

Ri R1i 2, n

a1 b1

解 (1) 0b10 0

0 0

0 0

00

a2 b2 b2

an 1 bn 1

上三角形

bn 1

bb12 bn 1;

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a1

(2)

01 a10 01

a1 a2 010 a2 02

0 00

00 an 110

下三角形 ( 1)nna1a2 an 1; 0n

Ci 1 Cii 1,2, ,n 1

a2 01

an 1 1

00

0 0

0 an 13 n 1

a2

4. 证明:

(a 1)2(b 1)2(c 1)

2

(a 2)2(b 2)2(c 2)

2

(a 3)2(b 3)2(c 3)

2

b2c

2

=0.

d2(d 1)2a2b2c

2

(d 2)2(d 3)2

2a 1222b 1222c 1222d 122

分析 行列式的证明题是给出结果的计算题, 所以从左端开始计算, 推出右端即可.

Ci Ci 1i 4,3,2

证 左端

2a 12a 32a 5a22b 12b 32b 5C4 C3b22c 5C3 C2c

2d 12d 32d 5d22c 1

2c 3

2

=0=右端.

d2

5. 求下列多项式的根(要求写出计算过程):

11

12 x2

(1)f(x)=

2222

11

23

1 x1

23

12 x; (2)f(x)=65

2

69 x

11

1 1

1

111

(n 1).

1n 1 x

1112 x2

解 (1)方法一

2222

1101 x20000

23

R2 R1

23

R3 2R1

65

R 2R1

69 x241101 x2000023

00R4 R3

2 123 x2

230022

=2(1 x)(4 x).

2 104 x2

所以多项式f(x)的根为x 1和x 2.

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方法二 f(x)是x的4次多项式, 且可直接验证f(1) f( 1) f(2) f( 2) 0,

所以f(x)的根为x 1和x 2.

11 1111

1 x1 1

12 x 1 (2)方法一 1

1

Ri R1i 2, ,n

11

1n 1 x1

1

100

0 x0 0001 x 0 0

0

0

0n 2 x

= x(1 x)(2 x) (n 2 x). 所以多项式的根为x 0,x 1, ,x n 2.

方法二 f(x)是x的n 1次多项式, 且可直接验证f(0) f(1) f(n 2) 0, 所以f(x)的根为x 0,x 1, ,x n 2.

6. 由n(n 1)阶行列式

1 11 1

=0,

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