高等代数 线性方程组习题课(解方程)

讨论线性方程组 x 1 + x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 1, x 1 + 3 x 2 + 6 x 3 + x 4 = 3, 3 x 1 x 2 p x 3 + 15 x 4 = 3, x 1 5 x 2 10 x 3 + 12 x 4 = t 当 p , t取何值时 , 方程组无解 ? 有唯一解 ? 有无穷多解 ? 在方程组有无穷多解的 情 况下 , 求出一般解 .

解

2 3 1 1 1 6 1 3 1 3 B= 3 1 p 15 3 1 5 10 12 t 2 3 1 1 1 4 2 2 0 2 ~ 0 4 p 6 6 0 0 6 9 t 1 12

1 0 ~ 0 0

1 2 3 1 1 2 1 1 0 p+2 2 4 0 0 3 t + 5

(1)当 p ≠ 2时 , R ( A ) = R ( B ) = 4, 方程组有唯一解 ; ( 2)当p = 2时, 有 1 0 B~ 0 0 1 1 2 1 1 0 0 2 4 0 0 3 t + 5 1 2 3 1 0 ~ 0 0 1 1 2 1 1 0 0 1 2 0 0 0 t 1 1 2 3

当t ≠ 1时, R( A) = 3 < R( B ) = 4, 方程组无解; 当t = 1时, R( A) = R( B ) = 3, 方程组有无穷多解 .且 1 0 B~ 0 0 1 1 0 0 2 3 2 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 ~ 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 8 0 3 1 2 0 0

与原方程组同解的方程 组为

x1 = 8, x 2 + 2 x 3 = 3, x = 2, 4故原方程组的通解为

x1 0 8 x2 2 3 ( k ∈ R ). = k + x 1 0 3 0 2 x 4