2010暑期辅导线性代数例题_行列式

考研数学辅导

A1:计算D= A2:计算D=

311224a1b1a1b2

a1b

3a1b4

301

102

199

a1b2a2b2a2b3a2b4a1b3a1b4a2b3a2b4

a3b3a3b4

a3b4a4b4

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A3: (89四)计算行列式

D=111x 1 1 1x 1 11x 1x 1 1

1 1

1 1

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304222

A4:(01四)行列式D=

0 7053 20

2，则第4行02

各元素的余子式之和的值为。

如何处理？

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x1 ax2xn Ax15:计算Dn

=

x1

x 10

x A6:计算Dn=

00an

an 1

x2 axn

x2

xn a

00 1

x 1a2

a1 x

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1 x1y1 A1 x2y17:计算Dn=1 xny1

122 222 23 A= 28:计算Dn

2

22

1 x1y21 x1yn1 x2y21 x2yn

1

xny2

1 xnyn

2 2 2

n

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A9:(01一某题解题过程中)

Dn=t10

t2

t10

t2

t20

t

2

t1

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A10:计算Δn

O

O

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很多场合，还有大量题目中行列式和矩阵、向量、方程组等内容是紧密关联的。如以下常见题型：

A11:(92三) A是m阶方阵，B是n阶方阵，

OA

且有|A| = a，|B| = b，则

BO

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A12:(06四)已知 1, 2为2维列向量， 矩阵A (2 1 2, 1 2)，B ( 1, 2)。 若行列式|A| = 6，则|B| =。

A13:设 1, 2, 3, 1, 2皆为4维列向量，且有：

A ( 1, 2, 3, 1) m,B ( 3, 2, 2, 1) n( 2, 3, 1, 1 2)

，则

。

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(10二,三)设A、B为3阶矩阵，且|A|=3, |B|=2, |A+B|=2，则|A+B|= 。 -1

-1

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A14:设齐次线性方程组

1+ 2+ 3+ + =0, 1+ 2+ 3+ + =0,

1+ 2+ 3+ + =0,

试讨论a, b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解？

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A15:(03三)已知齐次线性方程组

1+ 1+ 2 2+ 3 3+ + =0,

1 1+( 2+ ) 2+ 3 3+ + =0,

1 1+ 2 2+ 3+ 3+ + =0,

1 1+ 2 2+ 3 3+ +( + ) =0,

其中 =1

≠0。试讨论 1, 2,…, 和b满足何种

关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解.在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

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A16:(08一~四)设有n元线性方程组Ax=b，其中 2 2 A=

2

(1) 证明|A|=(n+1)an；

12

1 1

，x= ，b= ，

1 n

02

(2) a为何值时方程组有唯一解，求 1； (3) a为何值时方程组有无穷多组，求通解。

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由归纳法可推出Vandermonde行列式的结果：

Vn(a1,a2,

an)

1 i (a j n

j ai)

1a1

a2

1

a

n 1111a2ana222

an

a

n 1a

n

12n

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gg336x280();=147.jpg" alt="2010暑期辅导线性代数例题_行列式" />

(a2 a1) (a3 a1) (an 1 a1) (an a1)

(a3 a2) (an 1 a2) (an a

2)

(an 1 an 2) (an an 2)

(an an 1)

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x1 a1x2 ax a 23 x1 a2x2 a2x3 a2

A17:(94三)已知方程组 ， 23

x1 a3x2 a3x3 a3 x ax a2x a3

434 142

21331

证明当a1,a2,a3,a4各不相同时，方程组是无解的。 （可结合Vandermonde行列式和方程组有关的结论简单推出结果）