2009届高考数学快速提升成绩题型训练-三个二次问题(二次函数、不(2)

来源：网络收集时间：2026-08-02

导读： 33 ②若a1,要使y=au有最小值8，则u=(x－)2+,x∈(0,2]应有最小值 24 则u=(x－ 33 ∴当x=时，umin=,ymin=a4 24 34由a 3 =8得a=16.∴所求a=16,x= 3 . 2 11.解：∵f(0)=10 (1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且

②若a>1,要使y=au有最小值8，则u=(x－)2+,x∈(0,2]应有最小值

则u=(x－

∴当x=时，umin=,ymin=a4

34由a

=8得a=16.∴所求a=16,x=

. 2

11.解：∵f(0)=1>0

(1)当m＜0时，二次函数图象与x轴有两个交点且分别在y轴两侧，符合题意.

(2）当m>0时，则 3 m解得0＜m≤1

0 m

综上所述，m的取值范围是{m|m≤1且m≠0}.

12.证明：(1)pf(

mm2m

) p[p() q() r] m 1m 1m 1

pm[

pmqrpmp ] pm[ ]

(m 1)2m 1m(m 1)2m 2

m(m 2) (m 1)22

pm[]

(m 1)2(m 2)

pm2

,由于f(x)是二次函数，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0.

(m 1)2(m 2)m 1

(2)由题意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r ①当p＜0时，由(1）知f(若r>0,则f(0)>0,又f(

)＜0 m 1

)＜0,所以f(x)=0在(0，)内有解; m 1m 1

prpr

若r≤0,则f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－ )+r= >0,

m 2mm 2m

mm又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)内有解.

m 1m 1

②当p＜0时同理可证.

13..解：(1）设该厂的月获利为y,依题意得

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y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500 由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300

∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45 ∴当月产量在20~45件之间时，月获利不少于1300元. (2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－

652

)+1612.5 2

∵x为正整数，∴x=32或33时，y取得最大值为1612元， ∴当月产量为32件或33件时，可获得最大利润1612元.

14. 解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因为0∈[－1，1])．

所以当－1≤x≤1时，

15. 解：由题意 f x x ax (b 1)x c.

它的对称轴方程为x

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由方程f x x 0的两个根x1,x2满足0 x1 x2

, 可得 0 xb 11

2a x 1a,且b 1 2a xb 1

21 x2 2a, ∴ b 1 2a xxb 11b 1

1 2 2a a 2a，即

a x1，而x0 2a

故 xx1

0 2

16. 解：设g(x) f(x) x ax2 (b 1)x 1，则g(x) 0的二根为x1和x2.

（1）由a 0及x1 2 x2 4，可得

g(2) 0

g(4) 0

，

即

4a 2b 1 0

16a 4b 3 0，

即 b 3 3 2a 34a 0,

4 2 b2a 34a 0,两式相加得

1，所以，x0 1; （2）由(x2

b 11 x2) (a)2 4a, 可得 2a 1 (b 1)2 1. 又xx1

12 a

0，所以x1,x2同号.

∴

x 0 x1 2 x1 2

，

x2 x1 2

等价于

2 2a 1 (b 1)2 1

x2 2 x 1 0

2a 1 (b 1)2

, g(2) 0 g( 2) 0

即 g(0) 0 或 g(0) 0

2a 1 (b 1)2 1 2a 1 (b 1)2 1

解之得 b

14或b 7

. 或

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17. 证明：（I）因为f(0) 0,f(1) 0，

所以c 0,3a 2b c 0. 由条件a b c 0，消去b，得 a c 0；

由条件a b c 0，消去c，得 a b 0，2a b 0. 故 2

1. a

b3ac b2

,)，（II）抛物线f(x) 3ax 2bx c的顶点坐标为( 3a3a

在 2

1b1b2

1的两边乘以，得 .

3a33a3

又因为f(0) 0,f(1) 0,

ba2 c2 ac

0, 而f( )

3a3a

所以方程f(x) 0在区间(0,

)与( ,1)内分别有一实根。 3a3a

故方程f(x) 0在(0,1)内有两个实根.

18. 解析：解本题主要是应用抛物线的几何特性（张口方向，对称轴，截距，与

个数）及函数零点（方程）的有关知识，即

（1）由抛物线张口方向、对称轴位置、截距及与

。

轴交点个数，立即可得：

轴交点

，

（2）由方程

19. 解析：关于方程根的讨论，结合二次函数图象与

求：即设方程两根为

则

结论

轴的交点位置的充要条件即可

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1）

；

（2）

；

（3）

；

4）

；

（5）

20. 解析：证明不等式恒成立，实质是证明对应抛物线恒在

只要求抛物线恒在

轴上方或下方的充要条件即可。

即由

恒成立

。

轴的上方或下方的问题，故

对应抛物线恒在

轴下方

；

由

恒成立

对应抛物线恒在

轴上方

。

因此,当

为任意实教时，上述两充要条件至少有一个成立，命题得证。

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21. 解析：求

的极值，即应用方程根与系数的关系和判别式，求二次

函数的条件极值的问题。即

为方程的两根

，

又

222

22. 解析：∵x-8x+20=(x-4)+4>0, ∴ 只须mx-mx-1<0恒成立，即可：

m 0

①当m=0时，-1<0,不等式成立；②当m≠0时，则须 2

m 4m 0

解之：-4<m<0.由（1）、（2）得：-4<m≤0.

c 0 0

11bb1 2

23. 分析：由题 ∴cx+bx+a<0的解集是{x|x< 或

ac c 11a a c

x>}．

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