2009届高考数学快速提升成绩题型训练-三个二次问题(二次函数、不

来源：网络收集时间：2026-08-02

导读：快速提高你的数学成绩! 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——三个二次问题（二次函数、不等式、方程） 1. 解关于x的不等式：(1) x2－(a＋1)x＋a＜0，(2) 2x2 mx 2 0． 2 设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且A B，试求k的取值

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2009届高考数学快速提升成绩题型训练——三个二次问题

（二次函数、不等式、方程）

1. 解关于x的不等式：(1) x2－(a＋1)x＋a＜0，(2) 2x2 mx 2 0．

2 设集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且A B，试求k的取值

范围．

3．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R，求实数m的取值范围．

4．已知二次函数y＝x2＋px＋q，当y＜0时，有－＋1＞0．

5．若不等式

＜x＜，解关于x的不等式qx2＋px23

x qx p 0的解集为 x|2 x 4 ，求实数p与q的值． p

6. 设f x ax bx c a 0 ，若f 0 1，f 1 1，f －1 1, 试证明：对于

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任意 1 x 1，有f x

5. 4

7.（经典题型，非常值得训练）设二次函数f x ax2 bx c a 0 ，方程f x x 0的两个根x1,x2满足0 x1 x2

. 当x a

0,x1 时，证明x f x x.

8. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. (2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.

9. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).

(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B； (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.

10.已知实数t满足关系式loga

ty log (a>0且a≠1) aa3a3

(1)令t=ax,求y=f(x)的表达式；

(2)若x∈(0,2]时，y有最小值8，求a和x的值.

11.如果二次函数y=mx2+(m－3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求m的取值范围.

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12.二次函数f(x)=px2+qx+r中实数p、q、r满足

(1)pf(

pqr

=0,其中m>0,求证： m 2m 1m

)<0; m 1

(2)方程f(x)=0在(0，1)内恒有解.

13.一个小服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价P(元/件)之间的关系为P=160－2x,生产x件的成本R=500+30x元.

(1)该厂的月产量多大时，月获得的利润不少于1300元？

(2)当月产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少元？

14. 已知a、b、c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1．(1)证明：|c|≤1；

(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；

15. 设二次函数f x ax bx c a 0 ，方程f x x 0的两个根x1,x2满足

x11

. 0 x1 x2 . 且函数fx的图像关于直线x x0对称，证明：x0

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16. 已知二次函数f(x) ax2 bx 1(a,b R,a 0)，设方程f(x) x的两个实数根为x1和x2.

（1）如果x1 2 x2 4，设函数f(x)的对称轴为x x0，求证：x0 1；（2）如果x1 2，x2 x1 2，求b的取值范围.

17. 设f(x) 3ax2 2bx c.若a b c 0,f(0) 0，

(Ⅰ) a＞0且－2＜(Ⅱ)方程

18. 已知二次函数

的图象如图所示：

f(1) 0,求证：

＜－1； b

f(x) 0在（0，1）内有两个实根.

（1）试判断

及

的符号；

。

（2）若|OA|＝|OB|，试证明

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19.

为何值时，关于

的方程

的两根：

（1）为正数根；（2）为异号根且负根绝对值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）两根在0，2之间。

20. 证明关于

的不等式

与

，当

为任意实数时，至少有一个桓成立。

21. 已知关于

的方程

的极值。

两根为

，试求

x2 8x 20

0对一切x恒成立，求实数m的范围. 22. 若不等式 2

mx mx 1

23. 设不等式ax+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx+bx+a<0的

解集.

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答案：

1.解：(1)原不等式可化为：(x a)(x 1) 0,若a＞1时，解为1＜x＜a，若a＞1时，解为a＜x＜1，若a=1时，解为 (2)△=m2 16．

①当m2 16 0即m 4或m 4时，△＞0．

m m2 16 m m2 16

方程2x mx 2 0有二实数根：x1 ,x2 .

m m2 16 m m2 16 ∴原不等式的解集为或x x|x .

①当m=±4 时，△=0，两根为x1 x2

. 4

若m 4,则其根为－1，∴原不等式的解集为 x|x R,且x 1 ．若m 4,则其根为1，∴原不等式的解集为 x|x R,且x 1 ． ②当－4＜m 4时，方程无实数根．∴原不等式的解集为R．

2．解：A {x|[x (3k 1)][x (k 1)] 0}，比较3k 1,k 1的大小,

因为(3k 1) (k 1) 2(k 1),

(1)当k＞1时，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x k 1}. (2)当k=1时，x R.

(3)当k＜1时，3k－1＜k＋1，A=x|x k 1或x 3k 1.

B中的不等式不能分解因式，故考虑判断式 4k 4(k k) 4k， (1)当k=0时， 0,x R. (2)当k＞0时，△＜0，x R.

(3)当k＜0时， 0,x k k或x k k. 故：当k 0时，由B=R，显然有A B，当k＜0时，为使A B，需要

3k 1 k k

k 1，于是k 1时，A B.

k 1 k k

综上所述，k的取值范围是：k 0或 1 k 0.

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3..解： (１)当m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1时，

①若m＝3，原不等式解集为R

②若m＝－1，原不等式化为4x－1＜0

∴原不等式解集为｛x｜x＜

＝，不合题设条件. 4

(２)若m2－2m－3≠0，依题意有

1 m 32

m 2m 3 0

即 1 22 m 3 (m 3) 4(m 2m 3) 0 5

＜m＜3 5

综上，当－＜m≤3时，不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集为R.

4..解：由已知得x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q=0的根，

1111

∴－p=－＋ q=－×

232311

∴p＝，q＝－，∴不等式qx2＋px＋1＞0

即－x2＋x＋1＞0

∴－

∴x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3.

即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为｛x｜－2＜x＜3｝.

5.．解：由不等式

x qx p 0的解集为 x|2 x 4 ，得 p

2和4是方程

112

x qx p 0的两个实数根，且 0．(如图)

P 0

2 4 pq p 0.

2 4 p2

o2x

解得P 22,q

2. 2

6. 解：∵ f 1 a b c,f 1 a b c,f 0 c,

∴ a

(f 1 f 1 2f 0 ),b (f(1) f( 1)),c f 0 , 22

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x2 x x2 x 2

∴ f x f 1 .∴ 当 1 x 0时， f 1 f01 x 2 2

x2 xx2 x

f x f 1 f 1 f 0 1 x2

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