河北饶阳中学高二数学寒假作业高中数学选修2-1知识点(2)

5 若a、b为非零向量，则a b a b 0 x1x2 y1y2 z1z2 0．

14量数乘积的运算律： 1 a b b a； 2 a b a b a b；

6 若b 0，则a//b a b x1 x2,y1 y2,z1 z2． 7

a

a b

8

cos a,b

ab

3

a b c a c b c．

15、空间向量基本定理：若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在实数组 x,y,z ，

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河北饶阳中学高二数学寒假作业高中数学选修2-1知识点

9 x1,y1,z1 ， x2,y2,z2 ，则

d

称为点 的位置向量．

19、在空间中，取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 的位置可以用向量 来表示．向量

20、空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点 以及一个定方向确定．点 是直线l上一

点，向量a表示直线l的方向向量，则对于直线l上的任意一点 ，有 ta，这样点 和向量a

不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出直线l上的任意一点．

21、空间中平面 的位置可以由 内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点 ，它

b． 为平面 上任意一点，们的方向向量分别为a，存在有序实数对 x,y ，使得 xa yb，

这样点 与向量a，b就确定了平面 的位置．

22、直线l垂直 ，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面 的法向量．

23、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a//b a//b

n1 n2

就是二面角的平面角的大小．若二面角 l 的平面角为 ，则cos ．

n1n2

29、点 与点 之间的距离可以转化为两点对应向量 的模 计算．

30、在直线l上找一点 ，过定点 且垂直于直线l的向量为n，则定点 到直线l的距离为

n

d cos ,n ．

n

31、点 是平面 外一点， 是平面 内的一定点，n为平面 的一个法向量，则点 到平面

n

的距离为d cos ,n ．

n考点：1、利用空间向量证明线线平行、线线垂直

2、利用空间向量证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直 3、利用空间向量证明线线角、线面角、面面角问题

典型例题：

★★1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余

弦值为

★★★2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90 ，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.

（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小． ★★★3.如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA 平面ABCDE，

AB//CD，AC//ED，AE//BC， ABC 45 ,AB 22,BC 2AE 4，三角形PAB是等腰三角形。

（Ⅰ）求证：平面PCD 平面PAC；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；

（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积。

a b R ，a b a b a b 0．

24、若直线a的方向向量为a，平面 的法向量为n，且a ，则a// a//

a n a n 0，a a a//n a n．

25、若空间不重合的两个平面 ， 的法向量分别为a，b，则 // a//b

a b， a b a b 0．

26、设异面直线a，b的夹角为 ，方向向量为a，b，其夹角为 ，则有

a b

cos cos ．

ab

27、设直线l的方向向量为l，平面 的法向量为n，l与 所成的角为 ，l与n的夹角为 ，

l n

则有sin cos ．

ln

28、设n1，n2是二面角 l 的两个面 ， 的法向量，则向量n1，n2的夹角（或其补角）

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