排列组合解题中的八大典型错误、24种解题技巧和三大重要模型(类(5)

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（三）排列组合问题中的技巧

10.交叉问题集合法（容斥原理）：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(A B) n(A) n(B) n(A B)

例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？

解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：

n(I) n(A) n(B) n(A B) A64 A53 A53 A42 252种.

13.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

例13.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有 （ ） A、140种 B、80种 C、70种 D、35种

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有

333C9 C4 C5 70种,选.C

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同的取法有C5C4 C5C4 70台,选C. 23．构造数列递推法

例 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？

分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有

an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,据此，

a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。

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1

1

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15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求. 例15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ） A、70种 B、64种 C、58种 D、52种

（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ） A、150种 B、147种 C、144种 D、141种

解析：（1）正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成C8四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C8 12 58个.

（2）解析：10个点中任取4个点共有C10种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C6，四个面共有4C6个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是C10 4C6 3 6 141种.

18.复杂排列组合问题构造模型法:

例18.马路上有编号为1，2，3 ，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？

解析：把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯C5种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.

说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.

19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:

例19.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？

解析：从5个球中取出2个与盒子对号有C5种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为

2

4

4

4

4

4

44

3

2C52 20种.

9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

例9（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ） A、210种 B、300种 C、464种 D、600种

（2）从1，2，3 ，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？

（3）从1，2，3， ，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？

11311311313

解析：(1)按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A5个，A4A3A3,A3A3A3,A2A3A3,A3A3

5

个，合并总计300个,选B.另解，首位数字不能为0，故首位数字有5种选择，其它五个数字全排列A5，由于个位数字比十位数字大与个位数字比十位数字小是对称的。故所求六位数共有5A5/2=300。

（2）解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做A 7,14,21, 98 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做

2A 1,2,3,4, ,100 共有86个元素；由此可知，从A中任取2个元素的取法有C14，从A中任取一个，又从A

5

5

中任取一个共有C14C86，两种情形共符合要求的取法有C14 C14C86 1295种.

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排列组合解题中的八大典型错误、24种解题技巧和三大重要模型(类型全、归纳细、绝对精品)

（3）解析：将I 1,2,3 ,100 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A 4,8,12, 100 ；能被4除余1的数集B 1,5,9, 97 ，能被4除余2的数集C 2,6, ,98 ，能被4除余3的数集D 3,7,11, 99 ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A中任取两个数符合要；从B,D中各取一个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C25 C25C25 C25=1225种.

20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: 例20.（1）30030能被多少个不同偶数整除？ （2）正方体8个顶点可连成多少对异面直线？

解析：先把30030分解成质因数的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依题意偶因数2必取，3，5，7，11，13这5个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为

0135C5 C5 C52 C5 C54 C5 32个.

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1

1

2

（2）解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有C8 12 58个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.

21.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.

例21.（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？ （2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的 最短路径有多少种？

解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接

四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有C10个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有C10个.

（2）解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须 …… 此处隐藏：2933字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……