排列组合解题中的八大典型错误、24种解题技巧和三大重要模型(类(4)

例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ） A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种

解析：除甲乙外，其余5个排列数为A5种，再用甲乙去插6个空位有A6种，不同的排法种数是A5A6 3600种，选B.

3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.

例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法有（ ） A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选B.

11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例11.现有1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

解析：老师在中间三个位置上选一个有A3种，4名同学在其余4个位置上有A4种方法；所以共有A3A4 72种。 12.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

例12.（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ） A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种

（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？

解析：（1）前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共A6 720种，选C.

（2）解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A4种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有A4种，其余5个元素任排5个位置上有A5种，故共有A4A4A5 5760种排法.

16.圆排问题单排法:把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算

1

5

1

2

52

6

5

2

5

2

4

15

A5 602

1414

排列组合解题中的八大典型错误、24种解题技巧和三大重要模型(类型全、归纳细、绝对精品)

不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而无首位、末位之分，下列n个普通排列：

a1,a2,a3 ,an;a2,a3,a4, ,an, ;an,a1, ,an 1在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有n!种.因此可将某个元素固定展成单排，其它的n 1元素全排列.

n

例16.有5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

解析：首先可让5位姐姐站成一圈，属圆排列有A4种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2种方式，故不同的安排方式24 25 768种不同站法.说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1Am种不同排法.

m

n

4

17.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地n个不同元素排在m个不同位置的排列数有mn种方法. 例17.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？

解析：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案，第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有76种不同方案.

14.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法. 例14.（1）四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？

（2）9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？ 解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C4种，再排：在四个盒中每次排3个有A4种，故共有C4A4 144种.

解析：先取男女运动员各2名，有C5C4种，这四名运动员混和双打练习有A2种排法，故共有C5C4A2 120种. 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.

例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种

解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B. 22.全错位排列问题公式法:全错位排列问题（贺卡问题，信封问题）记住公式即可

瑞士数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式： 用A、B、C……表示写着n位友人名字的信封，a、b、c……表示n份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作f(n)。假设把a错装进B里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：

（1）b装入A里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有f(n-2)种错装法。

（2）b装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的） 份信纸b、c……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有f(n-1)种。

总之在a装入B的错误之下，共有错装法f(n-2)+f(n-1)种。a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有f(n-2)+f(n-1)种错装法，因此:

得到一个递推公式： f(n)=(n-1) {f(n-1)+f(n-2)}，分别代入n=2、3、4等可推得结果。 也可用迭代法推导出一般公式： f(n) n!(1

2

2

2

2

2

2

2

3

2

3

1111

( 1)n) 1!2!3!n!

例.五位同学坐在一排，现让五位同学重新坐，至多有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有 种.

解析：可以分类解决：

第一类，所有同学都不坐自己原来的位置； 第二类，恰有一位同学坐自己原来的位置； 第三类，恰有两位同学坐自己原来的位置.

对于第一类，就是上面讲的全错位排列问题；对于第二、第三类有部分元素还占有原来的位置，其余元素

排列组合解题中的八大典型错误、24种解题技巧和三大重要模型(类型全、归纳细、绝对精品)

可以归结为全错位排列问题，我们称这种排列问题为部分错位排列问题.

设n个元素全错位排列的排列数为Tn，则对于例3，第一类排列数为T5，第二类先确定一个排原来位置的同学有5种可能，其余四个同学全错位排列，所以第二类的排列数为5T4，第三类先确定两个排原位的同学，有

C52=10种，所以第三类的排列数为10T3，因此例3的答案为：T5+5T4+10T3=109.

（二）分组分配问题

24．平均分堆问题去除重复法

例2. 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组都是3人，有多少种不同的分法？ 分析：记7个人为a、b、c、d、e、f、g写出一些组来考察。表1

种，而这

只能算一种分组方法。

种分法只能算一

由表1可见，把abc，def看作2个元素顺序不同的排列有解：选3人为一组有种，所以不同的分法有也可以先选再分组为

种，再选3人为另一组有

（种）。 ＝70（种）

种，依分步计数原理，又每

例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？ 分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有

=6种，而 …… 此处隐藏：2932字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……