化归与转化思想在解题中的应用(2)

将证明不等式的问题通过等价转化化归为函数的极值问题来讨论，这是近年来高考试题中常出现的一种类型．

例9．已知函数，

的三个根，其中

．

，

的最小值恰好是方程

（1）求证：；

（2）设，是函数的两个极值点．

①若，求函数的解析式；

②求解：

的取值范围．

（1）三个函数的最小值依次为1，，，由，得．

∴

，

故方程的两根是，．

故，．

，即．

数学专题：化归与转化思想在解题中的应用

∴．

（2）①依题意

，得

是方程．

的根，故有，

，且△

由．

；得，．

由（1）知，故，

∴，．

∴．

②

（或）．

由（1）知．

∵，∴，

又，∴，，（或）．

数学专题：化归与转化思想在解题中的应用

∴．

例10．（2007年福建理）已知函数．

（1）若，试确定函数的单调区间；

（2）若

，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）设函数分析：

，求证：．

（1）求出的导函数，易得的单调区间；

（2）易知一步转化为解：

在

是偶函数，于是对任意成立可等价转化为对任意成立，进

上的最小值大于零，从而求出实数的取值范围．

（1）由得，所以．

由得，故的单调递增区间是，

由得，故的单调递减区间是．

（2）由可知是偶函数．

于是对任意成立等价于对任意成立．

由得．

①当时，．

此时在上单调递增．

数学专题：化归与转化思想在解题中的应用

故，符合题意．

②当时，．

当变化时的变化情况如下表：

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是．

（3），

，

，

由此得，

．

故点评：

.

数学专题：化归与转化思想在解题中的应用

利用偶函数的性质进行等价转化是解决此例问题（2）的关键．高考试题中常利用奇函数或偶函数的性质将函数在R上的问题进行“整体与局部的相互转化”转化为函数在区间

上问题来讨论．

例11．已知、是方程（）的两个不相等实根，函数的定义域为．

（1）求；

（2）证明：对于（），若

，则有

．

解：

（1）设，则因为、是方程（）的两个不相等实根，所以，

即，

从而有，

所以函数在区间上是增函数，由此及，得

；

数学专题：化归与转化思想在解题中的应用

（2）证明：

当且仅当，即（）时取得等号，从而

，

而，

当且仅当时取得等号，故有

．