化归与转化思想在解题中的应用

数学专题：化归与转化思想在解题中的应用

化归与转化思想在解题中的应用

主讲人：黄冈中学高级教师 汤彩仙

一、复习策略

化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想．转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题．化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中．转化有等价转化与不等价转化．等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正．

应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化．常见的转化有： 1、等与不等的相互转化

等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口． 2、正与反的相互转化

对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决． 3、特殊与一般的相互转化

对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举． 4、整体与局部的相互转化

整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始． 5、高维与低维的相互转化

事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维向高维的发展规律，通过降维转化，可把问题由一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见． 6、数与形的相互转化

通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化． 7、函数与方程的转化 二、典例剖析

例1．函数极限的值为（ ）.

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A． B．

C．分析：

D．

依据题意，从定义、定理、公式、概念出发，化抽象为具体，化复杂为简单，从纵向和横向进行联想转化. 解：由导数的定义可知

．

故选C． 点评：

本题借用函数极限的具体形式，旨在考查对导数定义的正确理解，因而转化为求函数的导数．

在处

例2．数列解：

中，，，则＝______________.

通过求猜想，从而达到解决问题的目的，也可以利用数列极限的含义进

行重组变形，可转化为无穷等比递缩数列的求和，

点评：

利用结构进行从特殊到一般的转化，既可缩短解题时间，又可提高运算准确性，同时考查思维的灵活性和代数变形能力.

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例3．（2005年湖北卷）以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（ ）

A． B．

C．分析：

D．

以平行六面体的八个顶点中任取三点为顶点可以构成56个三角形，从这56个三角形中任取两个，这两个三角形不共面有多少种不同取法？直接去做较困难，若利用“化归转化”数学思想，采用“正与反的相互转化”，正难则反，从问题的反面入手，找出共面的三角形的对数，问题较易解决． 解析：

以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形共有共有

＝28×55种取法，其中两个三角形共面的为

个，从中随机取出两个三角形

，故不共面的两个三角形共有(28×55－12×6)

种取法，∴以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这

两个三角形不共面的概率p为点评：

，选(A)．

当问题从正面入手难以解决时，常采用“正与反的相互转化”，从问题的反面入手，将不符合条件的情况去

掉（这在排列组合、概率题中常用），或验证问题的反面不成立（反证法），从而使问题得以解决． 例4．（2006年江西卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝

，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________．

分析：

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这里求CP＋PA1的最小值，而CP与PA1在直三棱柱ABC－A1B1C1的两个不同平面内，因此需利用“高维与低维的相互转化”把立体问题转化为平面问题来解决．

解：

连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．

通过计算可得∠A1C1B＝90°又∠BC1C＝45°，∠A1C1C＝135°，由余弦定理可求得A1C＝点评：

.

此题将几何体的侧面展开，空间问题转化成平面问题来解决，这是立体几何分支中常用的降维转化思想在解答立几问题的过程中，还常用等积变换求有关几何体的体积或点到平面的距离；常用割补转化，改变几何体的状态，由复杂几何体变为简单几何体，同时，线线、线面、面面之间的垂直或平行的互相转化，贯穿于立体几何始终；线线、点面、线面、面面之间的距离，既相互联系，又可相互转化．各种转化策略的运用，是解决立几问题的法宝．

例5

．已知函数的部分图象如图(，且)．

(1)求

的值；

(2)若关于的方程（，且）有两个不等实数根；

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①若证明在（－π，）内有两个不等实数根；

②上述①的逆命题是否成立，并证明． 解：

(1）由图象易知函数的周期为（

π）=2π．

∴，上述函数的图象是由的图象沿轴负方向平移

个单位得到的，其解析式为

．

∴

(2）①由得|

|≤∴＞－1．

同样|

|≤∴＜１．

令，显然

而二次函数

的对称轴∈(－1,1)．

∴二次方程两实根在（－1，1）中．

∴关于的方程 ②逆命题不成立．

在（－，）内有两个不同实根．

反例，关于的方程为．

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显然方程在（－，）内有两个不等的实根，并=＋=1．

例6．（2007安徽卷理）设，．

（1）令，讨论在内的单调性并求极值；

（2）求证：当分析：

时，恒有．

（1）讨论在内的单调性并求极值只需求出的导数即可解决；

（2）要证当

时易知． 解：

时，恒有，可转化为证

，于是可转化为证明

时，即

在

，亦即转化为上单调递增，这由（1）

恒成立；因

（1）根据求导法则有，

故，于是，列表如下：

故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．

（2）证明：由恒有

．

知，的极小值．于是由上表知，对一切，

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从而当时，恒有，故在内单调递增．

所以当

时，，即．

故当点评：

时，恒有．

对于证明

上恒成立，令

在区间恒成立问题，常运用化归转化思想转 …… 此处隐藏：2204字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……