电路教案第14章 线性动态电路的复频域分析(2)

I(s) GU(s)。元件特性：Z(s) R或Y(s) G

电感L的运算形式。时域形式：u L

di

；取拉氏变换：U(s) L(sI(s) i(0 )) dt

sLI(s) Li(0 )或I(s)

U(s)i(0 )

；元件特性：Z(s) sL或Y(s) sL（如上图） sLs

1t

0 i( ) d ；

取拉氏变换：C

电容C的运算形式。时域形式：u u(0 )

U(s)

u(0 )1

I(s) 或I(s) sCU(s) Cu(0 )；元件特性：Z(s) sC或Y(s) sC sCs

C的运算电路

di1di2 u L M1 1dtdt

耦合电感的运算形式. 时域形式： ；取拉氏变换：

didi u L2 M1

22 dtdt ZM(s) sM U1(s) sL1I1(s) L1i1(0 ) sMI2(s) Mi2(0 )；元件特性：

YM(s) sM U2(s) sL2I2(s) L2i2(0 ) sMI1(s) Mi1(0 )

耦合电感的运算电路

受控源的运算形式。时域形式：

受控源的运算电路

RLC串联电路的运算形式。

若：uc(0 ) 0 iL(0 ) 0

di1t

icdtdtC0

i1 u1/Ri2 i1

；取拉氏变换：

I1(s) U1(s)/RI2(s) I1(s)

；

时域形式：u iR L

拉氏变换电路：U(s) I(s)R sLI(s)

11I(s)

I(s)(R sL ) I(s)Z(s)；元件等sCsC

效：Z(s)

11

。 R sL

Y(s)sC

若：uc(0 ) 0 iL(0 ) 0

uC(0 )1

I(s) 有：U(s) I(s)R sLI(s) Li(0 ) sCs

整理：(R sL

uC(0 )1

)I(s) Z(s)I(s) U(s) Li(0 ) sCs

小结电路的运算形式：

1. 电压、电流用象函数形式；

2. 元件用运算阻抗或运算导纳表示；

3. 电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。 例：给出图示电路的运算电路模型。

解：t=0 时开关打开，uc(0-)=25V；iL(0-)=5A。

（注意附加50V电源支路）

14.5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路

1. 运算法的计算步骤

由换路前的电路计算uc(0-) , iL(0-) ；

画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用； 应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数； 反变换求原函数。

例：电路原处于稳态，t =0 时开关闭合，试用运算法求电流 i(t)。 解：(1) 计算初值：uc(0 ) 1V， iL(0 ) 0。 (2) 画运算电路：sL 1s， (3) 应用回路电流法：

111 sCs 1s

111u(0)

(1 s )I1(s) I2(s) C 0

ssss

u(0)111

-I1(s) (1 )I2(s) C ssss

I1(s) I(s)

1

s(s2 2s 2)

(4)反变换求原函数

D(s) 0有3个根: p1 0，p2 1 j，p3 1 j

I(s)

K3K1K2

ss 1 j(s 1 j)

11，K2 I(s)(s 1 j)s 1 j ， 22(1 j)

K1 I(s)s

s 0

K3 I(s)(s 1 j)s 1 j

1

2(1 j)

I(s)

122(1 j)2(1 j) 1 t t

； LI(s) i(t) (1 ecost esint)

2ss 1 j(s 1 j)

例2：图示电路，is (t),uc(0 ) 0，求uC(t)、iC(t)。 解：画运算电路

例3.t = 0时打开开关 ,求电感电流和电压。

解：计算初值：i1(0 ) 5A,i2(0 ) 0

10 1.5 画运算电路：I1(s)

5 0.4s

21.7510 1.5s25 3.75s

ss 12.5(5 0.4s)s(s 12.5)s

则：i1 2 1.75e 12.5t i2

注意：i1(0 ) i1(0 )，i2(0 ) i2(0 )

6.56

0.375，即：uL1(t) 0.375 (t) 6.56e 12.5t

s 12.52.19

，即：uL2(t) 0.375UL2(s) 0.1sI(s) 0.375 (t) 2.19e 12.5t

s 12.5

注意：

由于拉氏变换中用0- 初始条件，跃变情况自动包含在响应中，故不需先求 t =0+时的跃变值。

两个电感电压中的冲击部分大小相同而方向相反，故整个回路中无冲击电压。 满足磁链守恒。

0.3750.3 5 0.375

3.75A；i1(0 ) 3.75A L ，如上例，i2(0 ) i2(0 )

i0.10.3

UL1(s) 0.3sI1(s) 1.5

L1i1(0 ) L2i2(0 ) (L1 L2)i(0 )，0.3 5 0 0.4 3.75

14.6 网络函数的定义

1. 网络函数H（s）的定义

线性线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的像函数与激励的像函数之比定义为该电路的网络函数H(s)。

H(s)

def

L 零状态响应 L r(t) R(s)

E(s) L 激励函数 L e(t）

注意：

由于激励E(s)可以是电压源或电流源，响应R(s)可以是电压或电流，故 s 域网络函数可以是驱动点阻抗（导纳），转移阻抗（导纳），电压转移函数或电流转移函数。

若E(s)=1，响应R(s)=H(s)，即网络函数是该响应的像函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应 h(t)。

2.网络函数的应用

由网络函数求取任意激励的零状态响应

H(s)

R(s)

→ R(s) H(s)E(s) E(s)

例：图示电路，is(t) (t)，响应为u1、u2，求阶跃响应S1(t)、S2(t) 解：画运算电路

U(s)14s 4

H1(s) 1 2

IS(s)s 5s 6 1 s2 2s

H2(s)

U1(s)2sU1(s)4s

2

IS(s)2 2ss 5s 6

4s 4

2

s(s 5s 6)

U1(s) H1(s)IS(s) S1(t)

28

2e 2t e 3t 33

U2(s) H2(s)IS(s)

4s

s(s2 5s 6)

S2(t) 4e 2t 4e 3t

3. 应用卷积定理求电路响应

R(s) H(s)E(s)

r(t) L 1 E(s)H(s) e(t)*h(t) e(t )h( )d e( )h(t )d

t

t

可以通过求网络函数H(s)

与任意激励的象函数

E

(s)之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应 。

14.7 网络函数的极点和零点

1. 极点和零点

(s zi)N(s)H0(s z1)(s z2) (s zm) 1

H0in H(s)

D(s)(s p1)(s p2) (s pn) (s zj)

j 1m

当 s =zi 时，H(s)=0，称 zi为零点，zi为重根，称为重零点；

当 s =pj 时，H(s)→∞，称 pj为极点，pj为重根，称为重极点； 2. 复平面（或s 平面）

由于s j ，则zi ，Pj为复数，在复平面上把 H(s) 的极点用‘ ’表示 ，零点用‘ o ’表示。

2s2 12s 16

例：H(s) 3，绘出其极零点图。

s 4s2 6s 3

解：N(s) 2s2 12s 16 2(s 2)(s 4) H(s)的零点为： z1 2，z2 4

D(s) s 4s 6s 3 (s 1)(s

3

2

3333

j)(s j) 2222

3 p1 1，p2,3 j H(s)的极点为：

22

14.8 极点、零点与冲激响应

1. 网络函数与冲击响应

R(s) H(s)E(s)

当 e(t) (t) 时，E(s) 1

R(s) H(s) r(t) h(t) L 1H(s)，h(t)称为冲击响应。 可见：H(s) 和冲激响应构成一对拉氏变换对。

2. 极点、零点与冲激响应

若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为：

nKi

] Kiepit h(t) L[H(s)] L[

i 1s pii 1

1 1

n

注意：极点位置不同，响应性质不同，极点反映网络响应动态过程中自由分量的变

化规律。

当pi为负实根时，h(t)为衰减的指数函数，当pi为正实根时，h(t)为增长的指数函数；

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