电路教案第14章 线性动态电路的复频域分析

本章重点：

(1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质

(2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤 (3) 网络函数的概念

(4) 网络函数的极点和零点

14.1 拉普拉斯变换的定义

1. 拉氏变换法

拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。 2. 拉氏变换的定义

定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：

F(s) 0 f(t)e stdt 正变换

1c j st

反变换 f(t) c j F(s)eds

2πj

简写 F(s) L f(t) ， f(t) L-1 F(s) S: 复频率，s j

注意：

积分域：0 ：积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0+：积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。 今后讨论的均为0 拉氏变换。

F(s) 0 f(t)e stdt 0 f(t)e stdt 0 f(t)e stdt

（[0 ,0＋]区间f (t) = (t) 时，此项 0）

象函数F(s) 存在的条件： 0 f(t)e stdt

如果存在有限常数M和 c 使函数 f(t) 满足：f(t) Mect t [0, )，即：

M

s c

则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s 值使上式积分为有限值。

象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)；原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。

3.典型函数的拉氏变换

st (s c)t

dt 0 f(t)dt 0 Me

变换公式：F(s) 0 f(t)edt

st

(1)单位阶跃函数f(t) (t)的象函数

1 st 1

F(s) L[ (t)] (t)edt edt e

0 ss

0

st

0

st

(2)单位冲激函数f(t) (t)的象函数

F(s) L[ (t)] 0 (t) e stdt 0 (t)e stdt e s0 1

(3)指数函数f(t) eat的象函数

F(s) Leat 0 eate stdt

1 (s a)t 1

e

0 s as a

14.2 拉普拉斯变换的基本性质

1.线性性质

若 L[f1(t)] F1(s) , L[f2(t)] F2(s) ，

则 L A1f1(t) A2f2(t) A1L f1(t) A2L f2(t) A1F1(s) A2F2(s) 证明： L A1f1(t) A2f2(t) 0 A1f1(t) A2f2(t) e stdt

0 A1f1(t)e stdt 0 A2f2(t)e stdt A1F1(s) A2F2(s)

结论：

根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。

例： 求: f(t) K(1 e at)的象函数 解：F(s) L[K]- LKe at

KKaK-

ss as(s a)

例： 求: f(t) sin( t)的象函数

1 1 11

解：F(s) L sin(ωt) L (ej t e j t) 22

2j 2j s j s j s 2. 微分性质

df(t)

若： L f(t) F(s),则： L sF(s) f(0 ) dt

df(t) df(t) st st st

L 0 dt 0 edf(t) ef(t) 0 f(t)( se st)dt 0 dt证明： dt

f(0 ) sF(s) 若 足够大，则无穷大时，趋于零。

例：利用导数性质求下列函数的象函数

(1) f(t) cos( t)的象函数 解：

dsin( t)dt cos( t)，cos( t) 1d(sin t)

dt

L[cos t] L 1d 1

s dt(sin( t) ss2 2 0

s2 2

(2) f(t) δ( t)的象函数

解： (t)

d (t)dt，L[ (t)] 1s L (t) L[d (t)dt] s1

s

0 1 推广：L[d2f(t)

dt2

] s[sF(s) f(0 )] f'(0 ) s2F(s) sf(0 ) f'(0 ) L[dnf(t)dt

n

] snF(s) sn 1f(0 ) fn 1

(0 ) 3.积分性质

若： L[f(t)] F(s)，则：

L[ t

] 10 f( )d s

F(s) 证明：令 L[ t

dt 0 f(t)dt] (s)，则：L[f(t)] L dt 0 f(t)dt

F(s) s (s) t

0 f(t)dtt 0 （由于f(t)有界，则第二项为零） (s)

F(s)

s

例： 求: f(t) t ( t)和f(t) t2 (t)的象函数

解：L t (t) L[ dt] 1112s s 2t

0 (t)s2，L[t (t)] L[2 0tdt] s

3

4.延迟性质

若： L[f(t)] F(s)，则： L[f(t t0) (t t st0)] e0F(s) 证明：L f(t t

0) (t t0) 0 f(t t0) (t t0)e stdt

t0f(t t0)e stdt 令 t t0

( t0)

s 0 f( )e

sd e st0

0 f( )ed

e st0F(s) （e st0 延迟因子）

例：求矩形脉冲的象函数

解：矩形脉冲的原函数为f(t) (t) (t T)

11

根据延迟性质：F(s) e sT

ss

例：求三角波的象函数

解：三角波的原函数为：f(t) t[ (t) (t T)]

对原函数进行变换：f(t) t (t) (t T) (t T) T (t T)

11 sTT sT

2e e 2

sss

例：求周期函数的拉氏变换

则：F(s)

解：设f1(t)为一个周期的函数(单周期函数)，且L[f1(t)] F1(s)

f(t) f1(t) f1(t T) (t T) f1(t 2T) (t 2T)

L[f(t)] F1(s) e sTF1(s) e 2sTF1(s)

F1(s)[1 e sT e 2sT e 3sT ]

1

F1(s) sT

1 e

5.拉普拉斯的卷积定理

1

F1(s)

1 e sT

即： L[f(t)]

若： L[f1(t)] F1(s) L[f2(t)] F2(s)

则： L[f1(t) f2(t)] L 0f1(t )f2( )d F1(s)F2(s)

stt证明：L[f1(t) f2(t)] 0e 0f1(t )f2( ) d dt

t

0e st

f(t ) (t )f( ) d dt 令 x t ，得：

01

2

0 0f1(x) (x)f2( )e s e sx d dx

0f1(x) (x)e sxdx 0f2( )e s d F1(s)F2(s)

14.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开

用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。

由象函数求原函数的方法：

(1)利用公式f(t)

1c j st

c j F(s)eds

2πj

(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数 (3)把F(s)分解为简单项的组合（部分分式展开法）

F(s) F1(s) F2(s) Fn(s) → f(t) f1(t) f2(t) fn(t)

设象函数的一般形式为：F(s) N(s)a0sm am 11s am

D(s) b1(n m)

0sn b1sn bn(1) 若D(s) 0有n个单根分别为p1 pn，利用部分分式可将F(s)分解为：

F(s)

K1K2Kns p

→ f(t) Kptptpt

1e1 K2e2 Knen 1s p2s pn

待定常数Ki的确定：

方法1：Ki F(s)(s pi)s pi i 1

、2、3 、n 原因：(s pK K2Kn

1)F(s) 1 (s p1) （注意：s-p

s p i=0） 2s pn 方法2：求极限的方法K limN(s)(s pi)N'(s)(s pi) N(s)

is p lim

iD(s)s piD'(s)例：求 F(s)

4s 5

s2

5s 6

的原函数 解法1：F(s) 4s 5s2

5s 6 K1s 2 K

2s 3 K4s 51 s 3S 2 3，K4s 5

2 s 2

s 3 7

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