苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter6

苏汝铿量子力学课后习题及答案

第六章 自旋和角动量 典型例题分析

6.1 以s, l, j表示电子的自旋，轨道角动量和总角动量，取==1。j和j2可以表示成

KKK1KKj=s+l=σ+l

2

K2K2K2KK3K2KKj=s+l+2s l=+l+σ l

4

KKKKKKKK2KKK

a) 计算[σ,σ l]，[l,σ l]，[j,σ l]，[j,l]； KKK2

b) 求σ l和j的本征值。

解题思路：此类题目重点考察各种角动量算符间的关系。所以只要运用各种算符间的对易关系就能容易的解决。 解：

KK1KKK

a) s=σ，它和l属于不同的自由度，彼此可对易，[σ,l]=0。由此知

2

KKKKKKKK

[σ,σ l]=[σxi+σyj+σzk,σxlx+σyly+σzlz]=2il×σ

利用 得

（6.1）

KKKl×l=il

（6.2）

KKKK

[lx,σ l]=σy[lx,ly]+σz[lx,lz]= i(l×σ)x

所以，

（6.3）

KKKKK[l,σ l]= i(l×σ)

由（6.1）（6.4）得，

（6.4）

KKKKKKKKK

[j,σ l]=[σ,σ l]+[l,σ l]=0

另外

（6.5）

KK2KK2KK2

[j,l]=[l,l]+[s,l]=0

b）利用公式

（6.6）

KKKKKKKKK

(σ A)(σ B)=A B+iσ (A×B)

（6.7）

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（可以自己试着证一下），得

KK2KKKKKK2KK

(σ l)=l l+iσ (l×l)=l σ l

对于σ l和l的共同本征态（j和l的共同本征态）

（6.8）

KKK2K2K2

KK2KKK2KK2KK

(σ l)+(σ l) l=(σ l)+(σ l) l(l+1)=0

即

（6.9）

KKKK

(σ l l)(σ l+l+1)=0

所以，

（6.10）

KK

σ l=l, (l+1)

将σ l及l的本征值代入j=s+l+2s l=

（6.11）

KKK2

K2

K2

K2KK

3K2KK

+l+σ l中，得： 4

12

（6.12）

K2

j=j(j+1),KKσ l=l,

j=l±12

j=l+

KK

σ l= (l+1),

2

j=l

12

KK

注意，l=0时，l=0; l=0, 因此σ l=0, j=1/2。j=l-1/2的情况只能出现在l不为0的情况中。

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6.2 J1 和J2都是角动量，

1） 若J1 和J2是两个独立的角动量，已经知道J=J1+J2是角动量，但K= J1-J2不是角动量为

什么？

2） 此两个角动量满足什么条件，K才是角动量？

解题思路：此题涉及角动量的定义，任何物理量只要是满足关系

KKKl×l=i=l，

就是角动量。 解：

1） 若J1 和J2是两个独立的角动量，则

（6.13）

KKKJ1×J1=i=J1 KKKJ2×J2=i=J2

（6.14）

KKKKK

及[J1,J2]=0的对易关系。而K=J1 J2，有

KxKy KyKx=(J1x J2x)(J1y J2y) (J1y J2y)(J1x J2x)=[J1x,J1y]+[J2x,J2y]

（6.15）

由关系[J1x,J1y]=i=J1z，[J2x,J2y]=i=J2z，故

KxKy KyKx=i=(J1z+J2z)≠i=Kz

因此，不满足关系（6.13），不是角动量。

（6.16）

2） 如果J1 和J2不是两个独立的角动量，且满足下列对易关系，

[J1a,J2a]=0,a=x,y,z

[J1x,J2y]=i=J2z,[J1y,J2z]=i=J2x,[J1z,J2x]=i=J2y

则（6.15）的第二个等号不能成立，

（6.17）

KxKy KyKx=(J1x J2x)(J1y J2y) (J1y J2y)(J1x J2x)

=[J1x,J1y] [J1x,J2y]+[J1y,J1x]+[J2x,J2y] =i=(J1z J2z J2z+J2z)=i=(J1z J2z)=i=Kz

因此，在（6.17）下，（6.13）式才能满足，K是角动量。

（6.18）

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6.3 给定(θ, )方向单位矢量n=(nx,ny,nz)=(sinθcos ,sinθsin ,cosθ)，求

K

σn=σ n的本征值和本征函数。（σz表象）

解题思路：在课本中给出的自旋矩阵为在σz表象中的，具有简单的形式。若要表示空间任K

意方向上的自旋矩阵，只要在原来的矩阵上作空间旋转的相似变换。 解：

在σz表象中，Pauli算符的矩阵表示为，

σ 01

0 i x= 10 ,σy=

i

0 ,σ 10

z= 0 1

因此，

σK

n=σ n=σxnx+σyny+σznz

=

nz

nx iny e i

nx+iny

n = cosθ

sinθz sinθei

cosθ

设σ C1

n的本征函数为φ=

，本征值为λ，则本征方程为， C2

(σn λ)φ=0

即

(cosθ λ)C1+sinθe i C2=0 sinθei

C 1 (cosθ λ)C 2=0

det(σn λ)=0为有菲平庸解条件，可知λ=±1，相应的本征函数为

φ cos2

1= sini ,λ=1

2e

φ cos2

1= ei ,λ= 1 sin2

6.19）

6.20）

6.21）

6.22）

6.23）

6.24）

（（（（（（