2018年南京师范大学数学科学学院839高等代数考研冲刺狂背五套题

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

第 1 页，共 33 页

目录

2018年南京师范大学数学科学学院839高等代数考研冲刺狂背五套题（一） (2)

2018年南京师范大学数学科学学院839高等代数考研冲刺狂背五套题（二） (8)

2018年南京师范大学数学科学学院839高等代数考研冲刺狂背五套题（三） (14)

2018年南京师范大学数学科学学院839高等代数考研冲刺狂背五套题（四） (19)

2018年南京师范大学数学科学学院839高等代数考研冲刺狂背五套题（五） (27)

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

第 2 页，共 33 页

2018年南京师范大学数学科学学院839高等代数考研冲刺狂背五套题（一）

说明：本套狂背五套题按照考研侧重点和出题难度，严格筛选提取了历年考试高频核心试题及重点题型，更突出针对性和实战性，适用于考研冲刺最后狂背。

——————————————————————————————————————————

一、分析计算题

1． 在数域K 上的4维向量空间

内,给定向量组

（1）判断此向量组是否线性相关； （2）求此向量组的秩； （3）求此向量组生成的子空间

的维数和一组基. 【答案】（1）线性相关.

（2）由于的对应分量不成比例,因而

线性无关.又

可由

线性表出,故

秩

（3）

.且

为此生成子空间的一组基.

2． 设

A ，

B ,

C 是

方阵，试证:

并计算？

【答案】

又

又由

得

则

故

3． 设

是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换.

（1）证明:对V 上的线性函数f ,仍是V 上线性函数；

（2）定义

到自身的映射

为

证明

是

上的线性变换

（3）设

是V 的一组基,

是它的对偶基,并设在下

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

第 3 页，共 33 页

的矩阵为A.证明:

在下的矩阵为（因此称作的转置映射）

【答案】（1）

有

故是V 上线性函数.

（2）由定义

对

有

故

又

故

以上证明了是

上的线性变换.

（3）由

于是

即有

这就证明了在基

下的矩阵是

4． 设齐次线性方程组

其中

试讨论

为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组

解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.

【答案】方程组①的系数行列式

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

第

4 页，共

33 页

（

1）当

且

.时，方程组①仅有零解. （2）当时，对系数矩阵A 作行初等变换，有

原方程组的同解方程组为其基础解系为

故方程组①的全部解是

其中

为任意常数. （3）当时，对系数矩阵A 作行初等变换，有

原方程组的同解方程组为

其基础解系为

故方程组①的全部解是

（c 为任意常数）.