上海市青浦区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题(3)

（2）问摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少hm2？

【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．

【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．

【分析】（1）直接利用已知条件求出t的关系式，进一步求出周长为定值．

（2）利用关系式的恒等变换和不等式的基本性质的应用求出结果．

【解答】解：（1）设BP＝t，CP＝1﹣t（0≤t≤1），

所以∠DAQ＝45°﹣θ，DQ＝A tan（45°﹣θ）＝，

则：CQ＝1﹣．

所以：PQ＝＝，

故：l＝CP+CQ+PQ＝1﹣t+＝1﹣t+1+t＝2．

所以△CPQ的周长为定值2．

（2）S＝S正方形﹣S△ABP﹣S△ADQ，

＝1﹣﹣＝2﹣．

当且仅当t＝时，摄像头能捕捉到正方形ABCD内部区域的面积S至多为2﹣hm2．【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的恒等变换，基本不等式的应用，分割法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

19．（14分）对于在某个区间[a，+∞）上有意义的函数f（x），如果存在一次函数g（x）＝kx+b使得对于任意的x∈[a，+∞），有|f（x）﹣g（x）|≤1恒成立，则函数g（x）是函数f（x）在区间[a，+∞）上的弱渐近函数．

（1）若函数g（x）＝3x是函数f（x）＝3x+在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；

（2）证明：函数g（x）＝2x是函数f（x）＝2在区间[2，+∞）上的弱渐近函数．【考点】57：函数与方程的综合运用．

【专题】34：方程思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．

【分析】（1）由题意可得|m|≤x在[4，+∞）上恒成立，由x的最小值即可得到所求范围；（2）由弱渐近函数的定义，只要证得|f（x）﹣g（x）|＜1在区间[2，+∞）上恒成立，结合函数的单调性即可得证．

【解答】解：（1）函数g（x）＝3x是函数f（x）＝3x+在区间[4，+∞）上的弱渐近函数，可得|3x+﹣3x|≤1在[4，+∞）上恒成立，即|m|≤x在[4，+∞）上恒成立，

可得|m|≤4，即﹣4≤m≤4；

（2）证明：|f（x）﹣g（x）|＝|2﹣2x|，

由x≥2时，由x2﹣（x2﹣1）＝1＞0，即x＞，

可得|f（x）﹣g（x）|＝2（x﹣）＝，

由y＝x，y＝在x≥2递增，可得y＝x+在x≥2递增，

即有x+≥2+，

则＜＝2（2﹣）＜1，

即为|f（x）﹣g（x）|＜1在区间[2，+∞）上恒成立，

故函数g（x）＝2x是函数f（x）＝2在区间[2，+∞）上的弱渐近函数．

【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．

20．（16分）（1）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为4，渐近线方程为y ＝±x．求双曲线的标准方程；

（2）过（1）中双曲线上一点P的直线分别交两条渐近于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且P是线段AB的中点，求证：x1?x2为常数；

（3）我们知道函数y＝的图象是由双曲线x2﹣y2＝2的图象逆时针旋转45°得到的，函数

y＝的图象也是双曲线，请尝试写出曲线y＝的性质（不必证明）．【考点】KM：直线与双曲线的综合．

【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（1）根据双曲线的性质求得双曲线的方程；

（2）方法一：设A，B点坐标，求得P点坐标，代入双曲线方程，即可求得x1?x2；

方法二：分类讨论，设直线AB的方程，分别求得A和B点坐标，求得P点坐标，代入双

曲线方程，即可求得x1?x2；

（3）根据曲线方程，分别求得曲线的性质．

【解答】解：（1）设双曲线的方程为，由2a＝4，a＝2，

由双曲线的渐近线方程为y＝±x，则＝，则b＝2，

∴双曲线的方程为：；

（2）法一：由题不妨设，，则

，

则P在双曲线上，代入双曲线方程得x1?x2＝4；

法二：当直线AB的斜率不存在时，显然x＝±2，则x1?x2＝4；

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx+t，（k≠0，k≠±），

则，则，

同理，则，

此时，，代入双曲线方程得

t2＝4（k2﹣3），则x1?x2═＝4；

（3）①对称中心：原点，对称轴方程：，，

②顶点坐标为，，焦点坐标：，，

实轴长：，虚轴长：2b＝2，焦距：2c＝4；

③范围：x≠0，，

④渐近线：．

【点评】本题考查双曲线的方程及性质，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题．

21．（18分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、c、d，使得无穷数列{a n}满足a n+1＝，

则称数列{a n}为“Γ数列．已知数列{b n}为“Γ数列”．

（1）若数列{b n}中，b1＝1，k＝3、d＝4、c＝0，试求b2019的值；

（2）若数列{b n}中，b1＝2，k＝4、d＝2、c＝1，记数列{b n}的前n项和为S n，若不等式S4n ≤λ?3n对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；

（3）若{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．

【考点】8H：数列递推式．

【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．

【分析】（1）直接利用信息求出数列的项．

（2）利用恒成立问题和函数的单调性，求出λ的取值范围．

（3）直接利用分类讨论思想求出数列的通项公式．

【解答】解：（1）数列{b n}为“Γ数列”中，b1＝1，k＝3、d＝4、c＝0，

所以：当n≥1时，n∈N+时，b3n+1＝0，

又，

即：b2017＝0，

b2018＝b2017+d＝0+4＝4，

b2019＝b2018+d＝4+4＝8．

（2）因为数列{b n}是“Γ数列”，且b1＝2，k＝4，d＝2，c＝1，

所以：b4n+1﹣b4n﹣3＝1×（b4n﹣1+d）﹣b4n﹣3＝（b4n﹣2+2d）﹣b4n﹣3＝（b4n﹣3+3d）﹣b4n﹣3＝3d＝6，

则：数列前4n项中的项b4n﹣3是以2为首项，6为公差的等差数列．

易知{b4n}的项后按原来的顺序构成一个首项为4，公差为2的等差数列．

所以：S4n＝（b1+b5+…+b4n﹣3）+[（b2+b3+b4）+（b6+b7+b8）

+…+（b4n﹣6+b4n﹣5+b4n﹣4）+（b4n﹣2+b4n﹣1+b4n）]，

＝，

＝12n2+8n．

由于不等式S4n≤λ?3n对n∈N*恒成立，