2016-2017学年高中数学人教A版选修2-2学业测评：1.5.1

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间中每个小区间的长度为( ) A.1n

B.2n

C.3n

D.12n

【解析】 区间长度为2，n 等分后每个小区间的长度都是2n ，故选B.

【答案】 B

2．和式∑i ＝15

(y i ＋1)可表示为( )

A ．(y 1＋1)＋(y 5＋1)

B ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋1

C ．y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋5

D ．(y 1＋1)(y 2＋1)…(y 5＋1)

【解析】 ∑i ＝15

(y i ＋1)＝(y 1＋1)＋(y 2＋1)＋(y 3＋1)＋(y 4＋1)＋(y 5＋1)＝y 1＋y 2

＋y 3＋y 4＋y 5＋5.

【答案】 C

3．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间????

??i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )

【导学号：60030031】

A ．f ? ??

??1n B ．f ? ????2n C ．f ? ????i n D ．f (0)

【解析】 当n 很大时，f (x )＝x 2在区间????

??i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．

【答案】 C

4．(2016·郑州高二检测)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为( )

A ．3.92,5.52

B ．4,5

C ．2,51,3.92

D ．5.25,3.59

【解析】 将区间[0,2]5等分为??????0，25，??????25，45，??????45，65，??????65，85，????

??85，2，以小区间左端点对应的函数值为高，得S 1＝

??????1＋? ????252＋1＋? ????452＋1＋? ????652＋1＋? ????852＋1×25

＝3.92， 同理S 2＝

??????? ????252＋1＋? ????452＋1＋? ????652＋1＋? ????852＋1＋22＋1×25

＝5.52.故选A. 【答案】 A

5．(2016·大连高二检测)设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1n

f (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，

那么S n 的大小( )

A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关

B ．与f (x )，区间[a ，b ]和分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关

C ．与f (x )，区间[a ，b ]，分点的个数n 和ξi 的取法都有关

D ．与f (x )，区间[a ，b ]和ξi 取法有关，与分点的个数n 无关

【解析】 因为用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1n

f

(ξi )·b －a n ，和式的大小与函数式，区间，分点的个数和变量的取法都有关．

【答案】 C

二、填空题

6．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．

【解析】 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.

∴物体运动的路程近似值S ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.

【答案】 55

7．物体运动的速度和时间的函数关系式为v (t )＝2t (t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi 均取值为小区间的右端点)为__________km.

【解析】 以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s ＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．

【答案】 66

8．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动时，第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.

【解析】 由题意知，所求路程为直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与y ＝3x ＋2所围

成的直角梯形的面积，故S ＝12×(5＋8)×1＝6.5(m)．

【答案】 6.5

三、解答题

9．(2016·深圳高二检测)有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？

【解】 在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区

间，记第i 个小区间为??????2(i －1)n

，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1n Δs i ，取ξi ＝2i n

(i ＝1,2，…，n )．于是

Δs i ≈Δs ′i ＝v ? ??

??2i n ·Δt ＝??????3? ????2i n 2＋2·2n

， s n ＝∑i ＝1

n Δs i ＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4 ＝8? ????1＋1n ? ??

??1＋12n ＋4. 从而得到s 的近似值s ≈s n .

s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ????

??8? ????1＋1n ? ????1＋12n ＋4 ＝8＋4＝12.

所以这段时间内行驶的路程为12 km.

10．(2016·泰安高二检测)求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线f (x )＝12x 2所围

成的图形的面积．

【解】 (1)分割

将区间[0,1]等分成n 个小区间：

??????0，1n ，??????1n ，2n ，…，??????i －1n ，i n ，…，????

??n －1n ，1. 每个小区间的长度为Δx ＝1n .

过各分点作x 轴的垂线，将曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n .

(2)近似代替

在区间??????i －1n

，i n 上，用i －1n 处的函数值 12? ????i －1n 2作为高，以小区间的长度Δx ＝1n

作为底边长的小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈12? ????i －1n 2·1n

. (3)求和

曲边梯形的面积为