【聚焦中考】2015中考数学(安徽)总复习 教学案：第二章 方程与不(2)

对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)：

(1)b 2－4ac ＞0?方程有两个__不相等__的实数根；

(2)b 2－4ac ＝0?方程有两个__相等__的实数根；

(3)b 2－4ac ＜0?方程__没有__实数根．

5．一元二次方程的根与系数的关系

若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝__－b a

__，x

1x 2＝__c a

__．21*cnjy*com

转化思想

一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)，通过转化、归结为已解决的问题(一元一次方程)，也就是不断地把“未知”转化为“已知”．

一个注意

注意：(1)根的判别式“b 2－4ac ”只有在确认方程为一元二次方程时才能使用；(2)使用时，必须将一元二次方程转化为一般式ax 2＋bx ＋c ＝0，以便确定a ，b ，c 的值．

一个防范

正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”“

有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．

1．(2014·宁夏)一元二次方程x 2

－2x －1＝0的解是( C )

A ．x 1＝x 2＝1

B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2

C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2

D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 2

2．(2014·兰州)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根，则b 2－4ac 满足的条件是( B )

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全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | A ．b 2－4ac ＝0 B ．b 2－4ac ＞0

C ．b 2－4ac ＜0

D ．b 2－4ac ≥0

3．(2014·安徽)已知x 2－2x －3＝0，则2x 2－4x 的值是( B )

A ．－6

B ．6

C ．－2或6

D ．－2或30

4．(2014·枣庄)x 1，x 2是一元二次方程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )

A ．x 1小于－1，x 2大于3

B ．x 1小于－2，x 2大于3

C ．x 1，x 2在－1和3之间

D ．x 1，x 2都小于3

5．(2014·玉林)x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋m －2＝0的两个实数根，是否

存在实数m 使1x 1＋1x 2

＝0成立？则正确的是结论是( A ) A ．m ＝0时成立 B ．m ＝2时成立

C ．m ＝0或2时成立

D ．不存在

一元二次方程的解法

【例1】 解下列方程：

(1)(2014·滁州模拟)x 2＋4x －1＝0；

(2)(1997－x)2＋(x －1996)2＝1.

(1)解：原式可化为(x 2＋4x ＋4－4)－1＝0，即(x ＋2)2＝5，两边开方，得x ＋2＝±5，解得x 1＝－2＋5，x 2＝－2－52-1-c-n-j-y

(2)解法一：(1997－x)2＋(x －1996)2－1＝0，(1997－x)2＋(x －1997)(x －1995)＝0，(x －1997)[(x －1997)＋(x －1995)]＝0，2(x －1997)(x －1996)＝0，x 1＝1997，x 2＝1996

解法二：因为(1997－x)2＋(x －1996)2＝[(1997－x)＋(x －1996)]2－2(1997－x)(x －1996)，所以原方程可化为1－2(1997－x)(x －1996)＝1，2(1997－x)(x －1996)＝0，x 1＝1997，x 2＝1996

【点评】 解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．

1．用指定的方法解下列方程：

(1)(2014·亳州模拟)(2x －1)2＝9；(直接开平方法)

(2)x 2＋3x －4＝0；(配方法)

(3)x 2－2x －8＝0；(因式分解法)

(4)x(x ＋1)＋2(x －1)＝0.(公式法)

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全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | 解：(1)(2x －1)2＝9，2x －1＝±3，∴x ＝1±32，x 1＝2，x 2＝－1 (2)x 2＋3x －4＝0，(x ＋32

)2＝254，x ＋32＝±52

，∴x 1＝1，x 2＝－4 (3)x 2－2x －8＝0，(x －4)(x ＋2)＝0，x 1＝4，x 2＝－2 (4)x(x ＋1)＋2(x －1)＝0，x 2＋3x －2＝0，x ＝－3±172×1

，∴x 1＝－3－172，x 2＝－

3＋172

配方法

【例2】 用配方法把代数式3x －2x 2－2化为a(x ＋m)2＋n 的形式，并说明无论x 取何值，这个代数式的值总是负数．并求出当x 取何值时，这个代数式的值最大．

解：3x －2x 2－2＝－2(x 2－32x)－2＝－2(x 2－32x ＋916－916)－2＝－2(x 2－32x ＋916)＋98

－2＝－2(x －34)2－78，∵－2(x －34)2≤0，∴－2(x －34)2－78＜0，当x ＝34时，代数式最大值为－78

【点评】 (1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法．在配方前，先将二次项系数－2提出来，使括号中的二次项系数化为

1，然后通过配方分离出一个完全平方式．(2)注意与方程的配方的区别．【来源：21cnj*y.co*m 】

2．(1)(2014·聊城)用配方法解一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，此方程可变形为( A ) A ．(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2 B ．(x ＋b 2a )2＝4ac －b 24a 2

C ．(x －b 2a )2＝b 2－4a 4a 2

D ．(x －b 2a )2＝4ac －b 24a 2

(2)对于二次三项式x 2－10x ＋36，小聪同学作出如下结论：无论x 取什么实数，它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法？说明你的理由．【出处：21教育名师】

解：不同意小聪的说法．理由如下：x 2－10x ＋36＝x 2－10x ＋25＋11＝(x －5)2＋11≥11，

当x ＝5时，x 2－10x ＋36

有最小值11【版权所有：21教育】

一元二次方程根的判别式

【例3】 (2014·深圳)下列方程没有实数根的是( C )

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全国中小学教育资源门户网站 | 天量课件、教案、试卷、学案 免费下载 | A ．x 2＋4x ＝10 B ．3x 2＋8x －3＝0

C ．x 2－2x ＋3＝0

D ．(x －2)(x －3)＝12

【点评】 对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况的描述，必须借助根的判别式，Δ≥0方程有两个实数根，Δ＞0方程有两个不相等的实数根，Δ＝0方程有两个相等的实数根，Δ＜0方程没有实数根，反之亦然．

3．(2014·十堰)已知关于x 的一元二次方程x 2

＋2(m ＋1)x ＋m 2－1＝0.

(1)若方程有实数根，求实数m 的取值范围；

(2)若方程两实数根分别为x 1，x 2，且满足(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，求实数m 的值．

解：解：(1)由题意有Δ＝[2(m ＋1)]2－4(m 2－1)≥0，整理得8m ＋8≥0，解得m ≥－1，∴实数m 的取值范围是m ≥－1 (2)由两根关系，得x 1＋x 2＝－2(m ＋1)，x 1·x 2＝m 2－1，(x 1－x 2)2＝16－x 1x 2，(x 1＋x 2)2－3x 1x 2－16＝0，∴[－2(m ＋1)]2－3(m 2－1)－16＝0，∴m 2＋8m －9＝0，解得m ＝－9或m ＝1.∵m ≥－1，∴m ＝1

与几何问题的综合

【例4】 (1)已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x 2－9x ＋20＝0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．

解：(1)解方程x 2－9x ＋20＝0，x 1＝4，x 2＝5，当 …… 此处隐藏：2675字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……