1.2 事件的概率_概率论与数理统计,王松桂、程维虎等,科学出版社

概率论与数理统计,王松桂、程维虎等,科学出版社

第一章第二节事件的概率应用数理学院

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一、频率与频率稳定性 频率 设A是一个事件在相同的条件下进 行n次试验,在这n次试验中,事件A发生 了m次。 则称m为事件A在n次试验中 发生的频数或频次,称m与n的比值m/n 为事件A在n次试验中发生的频率,记 为fn(A)。

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当试验次数充分大时，事件的频率总 在一个定值附近摆动，而且，试验次数 越多，一般说来摆动的幅度越小 。这一 性质称频率的稳定性。 请看下面试验 掷硬币试验 掷骰子试验

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频率在一定程度上反映了事件在一次试 验中发生的可能性大小。仅管每进行一连 串(n次)试验，所得到的频率可能各不 相同，但只要 n足当大，频率就会非常接 近一个固定值——概率。 因此，概率是可以通过频率来“度量” 的。频率是概率的近似。

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考虑在相同条件下进行的S 轮试验第一轮 试验 试验次数n1 事件A出现 m1 次 第二轮 试验 试验次数n2

……

第S轮 试验 试验次数ns 事件A出现 ms 次

事件A出现 m2次

…

事件A在各轮试验中的频率形成一个数列 m1 m2 m , , … , sn1 n2 ns

下面我们来说明频率稳定性的含义

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指的是：各轮试验次数n1, n2, …, 频率稳定性 ns 充分大时，在各轮试验中事件A出现的 频率之间、或者它们与某固定的数值相差 甚微 。 频率m1 n1 m2 n2 ms ns

稳定在概率 p 附近

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这种稳定性为用统计方法求概率开拓了 道路。在实际中，当概率不易求出时，人们常用 试验次数很大时事件的频率作为概率的估 计值，并称此概率为统计概率。 这种确定概率的方法为频率法。

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例如，若我们希望知道某射手中靶的 概率，应对这个射手在相同条件下大量 的射击情况进行观察、并记录。

假设他射击n次,中 靶m次, 当n很大时, 可用频率m/n作为其 中靶概率之估计。

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性质 1 0≤ fn( A) ≤1; 2 fn(Ω )=1, fn(Ø)=0; 3. 若事件A1,A2,…,Ak两两互斥, 则: k fn Ai i 1

i 1

k

f n ( Ai ) 。

二、 事件概率 I. 概率的定义

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1933年，前苏联数学家柯 尔莫哥洛夫给出了概率的 公理化定义。

下面介绍用公理给出的概率定义

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概率的公理化定义

设E是随机试验，Ω 是它的样本空间， 对于 Ω 中的每一个事件A,赋予一个实数， 记为P(A) ,称为事件A的概率，如果集合函 数 P(·) 满足下述三条公理:公理1 0 P ( A) 1; 公理2 P(Ω )=1 ;

(1) (2)

公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 ) (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 。

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公理1说明，任一事件的概率介于0与1间； 公理2说明，必然事件的概率等于1; 公理3说明，对于任何两两互不相容(互斥) 的事件序列，这

些序列事件并的概率等于 各事件概率之和。

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II、概率的性质 1.P(Ø)=0,即不可能事件的概率为零； 2.若事件A1,A,…,An两两互斥,则有: P(A1∪A2…∪An)=P(A1)+…+P(An), 即互斥事件之并的概率等于它们各自 概率之和(有限可加性); 3. 对任一事件A,均有 P ( A) 1 P ( A);4.对两个事件A和B,若A B, 则有: P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)≥P(A)。

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性质5 对任意两个事件A、B,有 证明：因 得， P ( A B ) P ( A ( B AB))

A B A ( B AB), P ( A) P ( B AB),

B AB

AΩ

再由

AB B 及性质3,得(8)式成立。

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说明n个事件并的多除少补公式

特别地，n=3时P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A3 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )

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小结本节首先介绍了频率的概念，指出在试 验次数充分大条件下，频率接近于概率 结论；然后给出了概率的公理化定义及 概率的主要性质。