用双线性变换法设计原型低通为巴特沃兹型的数字IIR高通滤波器(2)

2z 2

T

j j

因此

|z|

2 2 T 2 2 T

22

由此看出，当σ<0时，|z|<1；当σ>0时，|z|>1。也就是说，S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的。

双线性变换法优缺点：双线性变换法与脉冲响应不变法相比，其主要的优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S平面与Z平面是单值的一一对应关系。S平面整个jΩ轴单值地对应于Z平面单位圆一周，即频率轴是单值变换关系。这个关系如式所示，重写如下：

tan T

2 2

上式表明，S平面上Ω与Z平面的ω成非线性的正切关系

由图3看出，在零频率附近，模拟角频率Ω与数字频率ω之间的变换关系接近于线性关系；但当Ω进一步增加时，ω增长得越来越慢，最后当Ω→∞时，ω终止在折叠频率ω=π处，因而双线性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，从而消除了频率混叠现象。

图3双线性变换法的频率变换关系

但是双线性变换的这个特点是靠频率的严重非线性关系而得到的，如式（及

图4所示。由于这种频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位了；其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响应特性），不然变换所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，如图5所示。

图5双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射

对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。

2. 5 设计步骤

根据以上FIR数字滤波器设计方法，下面运用双线性变换法基于MATLAB设计一个FIR高通滤波器，其中通带边界频率为500Hz，阻带边界频率分别为400Hz，通

带最大衰减1dB，阻带最小衰减40dB，抽样频率为2000Hz

(1)确定性能指标

在设计高通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标: (2)频率预畸变

用Ω=2/T*tan(w/2)对高通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变,得到高通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率Wp1;阻带截止频率Ws1，的转换。 (3)模拟高通性能指标转换成模拟低通性能指标

WP=1； %归一化处理 WS=WP* Wp1/ Ws1； (4)模拟低通滤波器的构造

借助巴特沃兹滤波器得到模拟低通滤波器的传输函数。 (5)模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器

调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为模拟高通滤波器。 (6)模拟高通滤波器转换成数字高通滤波器

利用双线性变换法将模拟高通滤波器Ha(s)转换成数字高通滤波器H(z)。 (7)输入信号检验滤波器性能

输入不同频率的正弦波，观察输出波形，检验滤波器性能。

2. 6 程序流程图

↓

↓

↓ ↓

↓

↓

2. 7 问题分析

（1） 在设计高通滤波器时，首先要将数据进行归一化这样可以提高设计的准确性。

（2） 在设计信号的输入时，课程中的数据f2如果是600HZ时，则复合信号通过滤波器时无法输出正常的信号X2，这说明频率太低，而被全被滤除，在将频率改至3000HZ之后则能输出符合设计要求的信号。

（3） 信号通过滤波器后输出的信号与x2的信号开始部分有点失真，这时因为信号并不是非常理想的通过滤波器的，在通过滤波器时受到滤波器的影响是从不稳定逐渐趋向稳定的。

3 运行环境

Windows xp

4 开发工具和编程语言

Matlab 6.5

5 详细设计

clc;clear all

Rp = 1; % 通带衰减/dB Rs = 40; %

阻带衰减/dB

OmegaP1_1=500; % 通带边界频率 OmegaS1_1=400; % 阻带边界频率 Fp=2000; % 抽样频率

Wp1=2*pi*OmegaP1_1/Fp; % 通带频率模数转换 Ws1=2*pi*OmegaS1_1/Fp; % 阻带频率模数转换 OmegaP1=tan(Wp1/2); % 通带频率非线性变换 OmegaS1=tan(Ws1/2); % 阻带频率非线性变换 Eta_P=OmegaP1/OmegaP1; %归一化 Eta_S=OmegaS1/OmegaP1; %归一化 Lemta_P_EquivalentLowPass=1/Eta_P; Lemta_S_EquivalentLowPass=1/Eta_S; % 估计滤波器阶数

[N, Wn] = buttord(Lemta_P_EquivalentLowPass, Lemta_S_EquivalentLowPass, Rp, Rs,'s'); %设计滤波器

[num1,den1] = butter(N,Wn,'s');

[num2,den2]=lp2hp(num1,den1,OmegaP1); [num,den]=bilinear(num2,den2,0.5); [z,p,k]=tf2zp(num,den) %显示传输函数

disp('分子系数是');disp(num); disp('分母系数是');disp(den); % 计算增益响应 w = 0:pi/255:pi; h = freqz(num,den,w); g = 20*log10(abs(h)); % 绘制增益响应 figure;

plot(w/pi,g);grid %绘制巴特沃兹高通滤波器幅频特性 axis([0 1 -60 5]);

xlabel('\omega /\pi'); ylabel('增益/ dB'); title('巴特沃兹高通滤波器'); figure;

zplane(z,p);%绘制传输函数零极点 title('传输函数的零极点'); f1=300,f2=3000; n=0:600;t=n/10000; x1=sin(2*pi*f1*t); x2=sin(2*pi*f2*t); x=x1+x2; figure;

subplot(2,2,1)%绘制x1的波形 plot(x1);grid on; axis([0,50*pi,-3,3]); xlabel('t');ylabel('x1(t)'); title('x1的波形');

subplot(2,2,2)%绘制x1的波形 plot(x2);grid on; axis([0,50*pi,-3,3]); xlabel('t');ylabel('x2(t)'); title('x2的波形');

subplot(2,2,3)%绘制输入x的波形 plot(x);grid on; axis([0,50*pi,-3,3]); xlabel('t');ylabel('x(t)'); title('输入信号x的波形')

y=filter(num,den,x);%数字滤波器输出 subplot(2,2,4);%绘制输出y的波形 plot(y); grid on;

axis([0,50*pi,-3,3]); xlabel('t');ylabel('y');

title('滤波器输出y的波形')

6 调试分析

z =

1.3186 + 0.0728i 1.3186 - 0.0728i 1.2471 + 0.1915i 1.2471 - 0.1915i 1.1460 + 0.2529i 1.1460 - 0.2529i 1.0478 + 0.2773i 1.0478 - 0.2773i 0.9460 + 0.2698i 0.9460 - 0.2698i 0.8580 + 0.2250i 0.8580 - 0.2250i 0.7968 + 0.1570i 0.7968 - 0.1570i 0.7632 + 0.0792i 0.7632 - 0.0792i 0.7531 p =

0.0444 + 0.9106i 0.0444 - 0.9106i

0.0381 + 0.7545i 0.0381 - 0.7545i 0.0336 + 0.6187i 0.0336 - 0.6187i 0.0303 + 0.4976i 0.0303 - 0.4976i 0.0279 + 0.3871i 0.0279 - 0.3871i 0.0262 + 0.2843i 0.0262 - 0.2843i 0.0251 + 0.1868i 0.0251 - 0.1868i 0.0245 + 0.0926i 0.0245 - 0.0926i 0.0243 k =

7.3789e-005

分子系数是

Columns 1 through 6

0.0001 -0.0013 0.0100 -0.0502 0.1756 - …… 此处隐藏：2493字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……