经济数学基础 微积分习题五答案

龚德恩主编 四川人民出版社

《微积分》第五章

习题五答案

龚德恩主编 四川人民出版社

1. 求下列不定积分(1)1 x 3 dx 9 dx ln9 9 c 1 2x 1 或 3 d 2x 32 x c 2 2 ln 32xx

(2)

3

x

5

2x

1 75x c 75 dx dx ln 75xx

(3)

2

2x x

1 e dx (4e ) dx (4e ) x c ln(4e ) 1 (4e ) x c 1 2 ln 2

龚德恩主编 四川人民出版社

(4)

(1 2 x 3 x 6 )dx (1 x ) dx 3 2

1 4 1 7 x x x c 2 7

(5)

2x 5x 10x

1 x 1 x dx ( ) dx ( ) dx 5 21 1 x 1 1 x ( ) ( ) c 1 5 1 2 ln ln 5 2

1 1 x 1 1 x ( ) ( ) c ln5 5 ln 2 2

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( 6)

1 1 1 dx arcsinx c dx 3 2 3 1 x2 9 9x

1

(7)

x 1 1 sin 2 dx 2 (1 cos x)dx 2 ( x sin x ) c2

( 8)

sin2 x cos2 x dx sin2 x cos2 x dx 1 sin2 x dx 1 cos2 x dx

cos 2 x

cos2 x sin2 x

csc2 xdx se c2 xdx cot x tan x c

龚德恩主编 四川人民出版社

2.已知一曲线在横坐标为 x的点处，切线斜率为 1)2 , (x 且曲线过点3,24),求此曲线的方程 ( .

解：设所求曲线的方程y y( x ), 则由题设有 为

y (1 x )2 dx (1 2 x x 2 )dx y (1 x ) , 故 1 3 2 x x x C 3 曲线过点3,24),将x 3, y 24代入上式得C 3. ( 1 3 2 y 所求曲线方程为 x x x 3 3 1 2 2 (或y (1 x ) dx (1 x ) d (1 x ), y (1 x )3 c1 3 1 1 3 1 3 2 2 x x x c1 x x x c ) 3 3 32

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3.用换元法求下列不定积 分： 1 (1) dx x a 1 1 d ( x a ) 令u x a du u x a

ln u C ln x a C( 2) ( 3 x 10 )99 dx

1 1 99 99 ( 3 x 10) d ( 3 x 10) 令u 3 x 10 u du 3 3 1 100 1 u C ( 3 x 10)100 C 300 300

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1 ( 3) e x dx x 解法一：

原 式 2

1 2 x

e x dx 2 e x d xx

令u

x 2 e u du 2e u C 2e

C

解法二：令 t 2 , 则dx 2tdt, t x x1 t 原 式 e 2tdt 2 e t dt 2e t C 2e tx

C

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( 4)

1 x2 2 1 x2 1 x4

dx

x2 1

( 其 中

1 1 x2 1

2

1 1 x2

xt 1

)dx

se c2 t dx 令x tant , dx se c2 tdt dt 2 se ct 1 x

sec tdt lnsect tant C

ln x 2 1 x C ln( x 2 1 x ) C

原式 arcsinx 2 ln( x 1 x ) C2

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(5) ( x 1)e

x2 2 x

dx

1 x2 2 x 1 x2 2 x e d ( x 2 2 x) ( 2 x 2)e dx 2 2 1 u 1 u 1 x 2 2 x 2 令u x 2 x e du e C e C 2 2 2(6) e cos x sin xdx ecos x

d cos x

令u cos x e u du

e u C e cos x C

龚德恩主编 四川人民出版社

1 (7) 2 dx x 2x 5 1 1 1 dx dx 2 ( x 1) 4 4 x 1 2 ( ) 1 2 1 1 x 1 d 2 x 1 2 2 ( ) 1 2 x 1 1 1 1 令u u

2 1 du 2 arctanu C 2 21 x 1 arctan C 2 2

龚德恩主编 四川人民出版社

1 ( 8) 2 dx x 4x 3 1 1 1 1 dx ( )dx ( x 1)( x 3) 2 x 1 x 3 1 1 1 ( dx dx) 2 x 1 x 3 1 1 1 [ d ( x 1) d ( x 3)] 2 x 1 x 3

1 x 1 1 C (ln x 1 ln x 3 ) C ln 2 x 3 2

龚德恩主编 四川人民出版社

1 ( 9) dx 1 cos x1 2 x dx se c dx 2 2 2 x 2 cos 2 x x x 令u se c2 udu se c2 d 2 2 21

x tan u C tan C 2

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x 3 (10) dx 2 6x x x 3 1 3 dx [ ]dx x(6 x ) 6 x x(6 x )

1 1 1 1 3 1 1 1 因 ( ), ( ) x(6 x ) 6 x 6 x x(6 x ) 2 x 6 x 3 1 3 1 1 1 原 式 [ ]dx dx dx 2(6 x ) 2 x 2 6 x 2 x 3 1 1 1 d (6 x ) dx 2 6 x 2 x 3 1 1 x ln 6 x ln x C ln C 3 2 2 2 (6 x )

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x x3 (11) dx 4 1 x

x 1 x4

dx

x3 1 x4

dx

1 1 1 2 1 dx d (1 x 4 ) 2 1 ( x 2 )2 4 1 x41 2 1 arctanx ln1 x 4 c 2 4

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(12)

1 x 1 x2

dx

令x tanu , dx sec2 udu

1 se c2 udu tanu se cu se cu 1 cos u du du tanu sinu cos u csc udu lncscu cot u c

x2 1

x1

u

x2 1 1 x2 1 1 ln c ln c x x x

龚德恩主编 四川人民出版社

1 lnx 1 ln x dx (13) dx dx x x x 1 (ln x )2 dx ln xd ln x ln x c x 2 ln x x 2 ln x 2 dx (14) dx xdx 2 x x

x2 (ln x )2 c 2

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(15)

(arcsinx )3 1 1 x2

dx

(arcsinx )3 1 x2 1

dx

1 1 x2

dx

(arcsinx )3 d arcsinx

1 (arcsinx )4 arcsinx c 4 tan(x 3) (16) dx tan( x 3) sec 2 ( x 3)d ( x 3) cos2 ( x 3)

1 x

2

dx

1 tan( x 3)d tan( x 3) tan2 ( x 3) c 2

龚德恩主编 四川人民出版社

1 cos x 1 (17) dx d ( x sin x ) 2 2 ( x sin x ) ( x sin x )1 ( x sin x ) d ( x sin x ) c x sin x 2

sin x cos x 1 (18) dx d (cos x sinx ) 5 5 (cos x sin x ) (cos x sinx ) (cos x sin x ) 5 d (cos x sin x )

1 c 4 4(cos x sin x )

龚德恩主编 四川人民出版社

1 x cos x sinx d ( x sinx ) (19) dx 2 2 ( x sinx ) ( x sinx )1 ( x sin x ) d ( x sin x ) c x sin x 2

x cos x 1 1 ( 20) 2 dx 2 d ( x 2 2 sin x ) x 2 sin x 2 x 2 sin x 1 ln x 2 2 sin x c 2