高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结[1]

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于

F1F2

，当常数等于

F1F2

时，轨迹是线段F1F2，当常数小于

F1F2

时，无

轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

程

)表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

（1）椭圆：焦点在x轴上时

x2y2

a2 b

2 1（a b 0），焦点在yy2x2

轴上时a2 b2＝1（a b 0）。方

程Ax2 By2

C表示椭圆的充要条件

是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

若x,y R，且3x2

2y2 6，

则x

y的最大值是____，x2 y2

的最

小值是___）

（2）双曲线：焦点在

x

轴上：

x2y2

a2 b2 =1，焦点在y轴上：y2x2

a2 b2

＝1（a 0,b 0）。方程Ax2 By2 C表示双曲线的充要条件

是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。

如设中心在坐标原点O，焦点F1、

F2在坐标轴上，离心率e 2的双曲线

C过点P(4, )，

则C的方程为_______（答：x

2

y2

6）

（3）抛物线：开口向右时

y2 2px(p 0)，开口向左时y2 2px(p 0，)开口向上时x2 2py(p 0)，开口向下

时

x2 2py(p 0。 )

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

（1）椭圆：由x

2

,

y

2

分母的大小

决定，焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程

x2y2

m 1 2 m

1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__（答：( , 1) (1,

32

)） （2）双曲线：由x

2

,

y

2

项系数的

正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，a最大，

a2 b2 c2

，在双曲线中，c最大，c2 a2 b2。

x

2

4.圆锥曲线的几何性质( y2：

6

（1）椭圆（以x2a2 y2

b

2 1（

a b 0）为例）：①范围：

a x a, b y b；②焦点：两个焦点( c,0)；③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0），四

个顶点( a,0),(0,

b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线

a2

x cc

； ⑤离心率：e a，椭圆

0 e 1，e越小，椭圆越圆；e越

大，椭圆越扁。

如（1）若椭圆

x2y2

5 m

1的离心率e 5

，则m的值是__（答：3或

253

）；

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为

顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：2

2）

（2）双曲线（以x2a2 y2

b

2 1（a 0,b 0）为例）：①范围：x a或x a,y R；②焦点：两个焦点( c,0)；③对称性：两条对称轴x 0,y 0，一个对称中心（0,0），两个顶点( a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相等

时，称为等轴双曲线，其方程可设为

x2 y2 k,k 0；④准线：两条准线

x a2

c

； ⑤离心率：e ca，双曲线

e 1 e e越小，开口越小，越大，开口越大；⑥

两条渐近线：y b

ax。

（3）抛物线（以y2

2px(p 0)为例）：①范围：x 0,y R；②焦点：

一个焦点(p

2

,0)，其中p的几何意义是：

焦点到准线的距离；③对称性：一条对称

轴

y 0，没有对称中心，只有一个顶点

（0,0）；④准线：一条准线x p

2

； ⑤

离心率：e c

，抛物线 e 1。

如 a

设a 0,a8 R，则抛物线

y 4ax2的焦点坐标为________（答：

(0,

1

16a

)）

； 、点P(x)和椭圆x2y2

50,y0a2 b

2 1

（a b 0）的关系：（1）点P(x0,y0)

在椭圆外 x2y2

00

a2 b

2 1；（2）点

P(xyx220y0

0,0)在椭圆上 a2 b

2＝1；

（3）点P(x0,y0)在椭圆内2 xy200

a2 b

2 1

6．直线与圆锥曲线的位置关系：

（1）相交： 0 直线与椭圆相

交；

0 直线与双曲线相交，但直

线与双曲线相交不一定有 0，当直线

与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；

0 直线与抛物线相交，但直线与抛

物线相交不一定有 0，当直线与抛物

线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切：

0 直线与椭圆相切；

0 直线与双曲线相切； 0 直线与抛物线相切；

（3）相离： 0 直线与椭圆相离； 0 直线与双曲线相离； 0 直线与抛物线相离。

提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只

)

有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲

线x2y2a2 b

2

＝1外一点P(x0,y0)的直

线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：

S b2tan

2

c|y0|，当|y0| b即

P为短轴端点时，Smax的最大值为

bc；

对于双曲线S

b2。 如 （1）短轴

tan

2

长为

5，

2

练习：点P是双曲线上x2

y12

1上一点，F1,F2为双曲线的两个焦点，且

PF1PF2=24，求 PF1F2的周长。

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形

的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A1，B1，若P为A1B1的中点，则PA⊥PB；

（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

9、弦长公式：若直线y kx b与圆锥 …… 此处隐藏：2504字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……