3.5 两个随机变量函数的分布

3.5 两个随机变量函数的分布 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布 已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的联合分布?

我们主要讨论两个随机变量的函数的分布 问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.

3.5.1 二维离散型随机变量函数的分布律

设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为P{X=xi ,Y=yj}= pij , (i, j=1,2,…)

且二元函数z=g(x, y)对于不同的(xi, yj)有不同函数值，则随机变量Z=g(X, Y)的分布律为 P{Z=g(xi ,yj)}= pij , (i, j=1,2,…)

例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数. 解:

P( Z r) P( X Y r){X=0, X+Y =r }∪{X=1, X+Y =r } ∪{X=r, X+Y =r }

{X+Y =r }

且诸{X=i, X+Y =r },i=0,1,2, …,r互不相容

……

例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数.于是有: P ( Z r ) P ( X Y r )r

P ( X i,Y r i )i 0 r

由独立性

此即离散 卷积公式

P ( X i ) P (Y r i )i 0

=a0br+a1br-1+…+arb0

r=0,1,2, …

例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 1, 2 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布. 解：依题意

i! 2 j e 2 P (Y j ) j! 由卷积公式r i 0

P ( X i)

e

1

i 1

i=0,1,2,… j=0,1,2,…

P ( Z r ) P ( X i)P (Y r i )

由卷积公式P ( Z r ) P ( X i)P(Y r i )i 0 rr i 1

e- 1i 0

i!

e- 2r

r2-i(r - i)!

e

( 1 2 )

r!

r! i r -i i! (r - i)! 1 2 i 0

e

( 1 2 )

r!

( 1 2 ) ,r

r =0,1,…

即Z服从参数为 1 2 的泊松分布.

例3 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求 Z=X+Y 的分布. 我们给出不需要计算的另一种证法: 回忆第二章对服从二项分布的随机变量 所作的直观解释: 若X~ B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试 验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的 概率都为p.同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p.

故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验 中事件A出现的次数，每次试验中A出现 的概率为p,于是Z是以(n1+n2,p)为参 数的二项随机变量，即Z ~ B(n1+n2, p).3.5.2 连续型分布的情形 1. Z=X+Y的分布

例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的

密度.解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)

f ( x, y)dxdyD

这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面.

FZ ( z )

x y z

f ( x, y)dxdy z y

化成累次积分,得

FZ ( z ) [

f ( x, y)dx ]dy

变量代换 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得

FZ ( z ) [ f ( u

y, y)du]dy z

z

交换积分次序

[ f ( u y, y)dy]du

FZ ( z ) [ f ( u y, y)dy]du

z

由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y 的概率密度为:

fZ ( z ) F ( z ) f ( z y, y)dy' Z

由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成

fZ ( z ) F ( z ) f ( x, z x )dx' Z

以上两式即是两个随机变量和 的概率密度的一般公式.

特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘 密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:

f Z ( z ) f X ( z y ) fY ( y )dy

f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx

这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度

例5 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 1, 0 x 1 f ( x) 求Z=X+Y的概率密度 . 0, 其它 解: 由卷积公式

fZ ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx

为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 0 x 1 0 z x 1

也即

0 x 1 z 1 x z

fZ ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx

为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 0 x 1 0 x 1 也即 z 1 x z 0 z x 1 如图示: 于是 z dx z, 0 z 1 0 1 f Z ( z ) dx 2 z, 1 z 2 z 1 0, 其它

例3.12 设X和Y是两个独立的随机变量，它们 都服从N(0,1),其概率密度分别为

f X ( x) 和

1 e 2

x2 2

( , ) ( , )

fY ( y )

1 e 2

y2 2

求Z=X+Y的概率密度。 解 由卷积公式知，

fZ ( z ) f X ( x ) fY ( z x )dx

1 2

e

x2 2

e

( z x )2 2

dx

1 e e dx 2 z2 z 1 4 t 2 令t x , 得 f Z ( z ) e e dx 2 2

z2 4

z 2 ( x ) 2

1 e 2

z 4

2

1 2

e

z 4

2

1 2 2

z2 2 ( 2 ) 2

e

.

即有：若X和Y 独立,具有相同的分布 N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2). 若X和Y 独立, X ~ N ( , 2 ), Y ~ N ( , 2 ), 1 1 2 2 结论又如何呢? 用类似的方法可以证明:

Z X Y ~ N ( 1 2 , )2 1 2 2

此结论可以推广到n个独立正态随机变 量之和的情形.

更一般地, 可以证明: 常数及有限个独立正态变量的线性组 合仍然服从正态分布.

定理：设2 i

X i i 1,2, , n)相互独立， (n

X i ~ N ( i , ), a和bi为常数，Y a bi X i,i 1

则

Y ~ N (a bi i ,i 1

n

bi2 i2 ). i 1

n

例如，设X、Y独立，都服从正态分布，

X ~ N (0,5 ), Y ~ N ( 1,2 ), 则 3X-4Y+1也2 2

服从正态分布，且

3 X 4Y 1 ~ N [3 0 4

( 1) 1,3 5 4 2 ].2 2 2 2

即

3 X 4Y 1 ~ N (5,289).3 X 4Y 1 ~ N (5,17 ).2

或