版高考数学一轮复习第12章选4系列123绝对值不等式学案文(数学教

1 12.3 绝对值不等式

[知识梳理]

1．绝对值不等式

(1)定理

如果a ，b 是实数，那么|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．

(2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立，即b 落在a ，c 之间．

(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式

①|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.

②||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.

2．绝对值不等式的解法

(1)形如|ax ＋b |≥|cx ＋d |的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．

(2)①绝对值不等式|x |>a 与|x |<a 的解集．

2 ②|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法．

|ax ＋b |≤c ?－c ≤ax ＋b ≤c (c >0)，

|ax ＋b |≥c ?ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c (c >0)．

[诊断自测]

1．概念思辨

(1)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为?.( )

(2)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( )

(3)|ax ＋b |≤c (c ≥0)的解集，等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )

(4)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( )

答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√

2．教材衍化

(1)(选修A4－5P 19T 5)解不等式|2x ＋1|＋|x －2|>4.

解 当x ≤－12

时，原不等式可化为－2x －1＋2－x >4，所以x <－1，此时x <－1； 当－12

<x <2时，原不等式可化为2x ＋1＋2－x >4，所以x >1，此时1<x <2； 当x ≥2时，原不等式可化为2x ＋1＋x －2>4，所以x >53

，此时x ≥2. 综上，原不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

(2)(选修A4－5P 20T 9)设函数f (x )＝|x －4|＋|x －3|.

①解不等式f (x )≥3；

②若f (x )≥a 对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．

解 ①当x ≤3时，原不等式可化为4－x ＋3－x ≥3，即x ≤2，所以x ≤2； 当3<x <4时，原不等式可化为4－x ＋x －3≥3，即1≥3，无解；

当x ≥4时，原不等式可化为x －4＋x －3≥3，即x ≥5，所以x ≥5.

综上，原不等式的解集为{x |x ≤2或x ≥5}．

②f (x )≥a 对一切x ∈R 恒成立的充要条件是a ≤f (x )min .

因为f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，即f (x )的最小值为1，所以a ≤1. 即实数a 的取值范围是(－∞，1]．

3．小题热身

(1)(2015·山东高考)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( )

A ．(－∞，4)

B ．(－∞，1)

C ．(1,4)

D ．(1,5)

答案 A

解析 ①当x <1时，原不等式等价于1－x －(5－x )<2，即－4<2，∴x <1.

②当1≤x ≤5时，原不等式等价于x －1－(5－x )<2，即x <4，∴1≤x <4.

③当x >5时，原不等式等价于x －1－(x －5)<2，

即4<2，无解．

综合①②③知x <4.故选A.

(2)(2014·重庆高考)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12

a ＋2对任意实数x 恒成立，则

3 实数a 的取值范围是________．

答案 ????

??－1，12 解析 令f (x )＝|2x －1|＋|x ＋2|，易求得f (x )min ＝52，依题意得a 2＋12a ＋2≤52

?－1≤a ≤12

.

题型1 绝对值不等式的解法

典例 (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －

3|.

(1)画出y ＝f (x )的图象；

(2)求不等式|f (x )|>1的解集．

(1)去绝对值符号转化为分段函数；(2)根据(1)

作出的图象，采用数形结合方法求解．

解 (1)f (x )＝????? x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32

，

y ＝f (x )的图象如图所示．

4

(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；

当f (x )＝－1时，可得x ＝13

或x ＝5， 故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为?

?????????x ??? x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为??????

????x ??? x <13或1<x <3或x >5. 方法技巧

解|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 的一般步骤

1．用“零点分段法”

(1)令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；

(2)将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间；

(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集；

(4)取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集．

2．利用|x －a |＋|x －b |的几何意义

数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.

3．图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．见典例． 提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．

冲关针对训练

(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|.

(1)求不等式f (x )≥1的解集；

(2)若不等式f (x )≥x 2

－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．