北京市海淀区2011届高三一模数学(理)试题(WORD精校版)(2)

3分

所以f(x)在x 1处取得极小值1.

4分 （Ⅱ）h(x) x

1 a

alnx， x

1 aax2 ax (1 a)(x 1)[x (1 a)]

6分 h (x) 1 2

xxx2x2

①当a 1 0时，即a 1时，在(0,1 a)上h (x) 0，在(1 a, )上h (x) 0， 所以h(x)在(0,1 a)上单调递减，在(1 a, )上单调递增； 7分 ②当1 a 0，即a 1时，在(0, )上h (x) 0， 所

以

，

函

数

h(x)

在

(0, )

上单调递

增. 8分 （III）在 1,e 上存在一点x0，使得f(x0) g(x0)成立，即 在 1,e 上存在一点x0，使得h(x0) 0，即

1 a

alnx在 1,e 上的最小值小于零. 9分 x

由（Ⅱ）可知 函数h(x) x

①即1 a e，即a e 1时， h(x)在 1,e 上单调递减，

1 ae2 1

所以h(x)的最小值为h(e)，由h(e) e ， a 0可得a

ee 1

e2 1e2 1

因为； 10分 e 1，所以a

e 1e 1

②当1 a 1，即a 0时， h(x)在 1,e 上单调递增，

所以h(x)最小值为h(1)，由h(1) 1 1 a 0可得a 2； 11分 ③当1 1 a e，即0 a e 1时， 可得h(x)最小值为h(1 a)， 因为0 ln(1 a) 1，所以，0 aln(1 a) a 故h(1 a) 2 a aln(1 a) 2

此时，h(1 a) 0不成立. 12分

e2 1综上讨论可得所求a的范围是：a 或a 2. 13分

e 1

19. （共14分）

a2 b21

，所以3a2 4b2 ① 1分 解：（Ⅰ）由已知可得e 2

a4

2

又点M(1,在椭圆C上，所以

2

2

3

219 1 ② 2分 a24b2

由①②解之，得a 4,b 3.

x2y2

1. 5分 故椭圆C的方程为43

(Ⅱ) 当k 0时，P(0,2m)在椭圆C

上，解得m

，所以|OP| 6分 2

当k 0时，则由

y kx m,

22

xy

1.

3 4

2

2

2

消y化简整理得：(3 4k)x 8kmx 4m 12 0，

64k2m2 4(3 4k2)(4m2 12) 48(3 4k2 m2) 0

③ 8分

设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0)，则

x0 x1 x2

9分

8km6m

,y y y k(x x) 2m . 0121222

3 4k3 4k

22

x0y0

1. 10 由于点P在椭圆C上，所以 43

分

16k2m212m222

4m 3 4k 从而，化简得，经检验满足③式. 11 12222

(3 4k)(3 4k)

分

又|OP|

因为0 k

12分

133

1，

，得3 4k2 3 4，有 2

244k 3

OP

分

. 132

综上，所求OP

的取值范围是. 14分 (Ⅱ)另解：设A,B,P点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x0,y0)， 由

A,B

在椭圆上，可得

3x12 4y12 12①

6分 22

3x2 4y2 12②

①

—

②

整

理

得

3(x1 x2)(x1 x2) 4(y1 y2)(y1 y2) 0③ 7分

由

已

知

可

得

O P

，所以

x1 x2 x0④

8分

y1 y2 y0⑤

由

已

知

当

k

y1 y2x1 x2

,即

y1 y2 k(x1 x2)

⑥ 9分 把④⑤⑥代入

③整理得

3x0 4ky0 10分

与

3x02 4y02 12

联立消

x0

整理得

9

11分

4k2 3

422

由3x02 4y02 12得x0 4 y0，

3y02

所

以

2

|O

分

43

k

2

P| 12

2

因为k 故

133

1，

，得3 4k2 3 4，有

244k2 3

OP

分

. 132

所求OP

的取值范围是20. （共13分）

. 14分 解：（1）根据题设中有关字母的定义，

k1 2,k2 1,k3 0,k4 1,kj 0(j 5,6,7 )

b1 2,b2 2 1 3,b3 2 1 0 3,b4 4,bm 4(m 5,6,7, )

g(1) b1 4 1 2g(2) b1 b2 4 2 3,g(3) b1 b2 b3 4 3 4,g(4) b1 b2 b3 b4 4 4 4,

g(5) b1 b2 b3 b4 b5 4 5 4.

（2）一方面，g(m 1) g(m) bm 1 n，根据“数列A含有n项”及bj的含义知bm 1 n，

故g(m 1) g(m) 0，即g(m) g(m 1) ① 7分 另一方面，设整数M max a1,a2, ,an ，则当m M时必有bm n， 所以g(1) g(2) g(M 1) g(M) g(M 1)

所以g(m)的最小值为g(M 1). …………………9分 下面计算g(M 1)的值：

g(M 1) b1 b2 b3 bM 1 n(M 1)

(b1 n) (b2 n) (b3 n) (bM 1 n)

( k2 k3 kM) ( k3 k4 kM) ( k4 k5 kM) ( kM) [k2 2k3 (M 1)kM]

(k1 2k2 3k3 MkM) (k1 k2 kM) (a1 a2 a3 an) bM

(a1 a2 a3 an) n …………………12分

∵a1 a2 a3 an n 100 ， ∴g(M 1) 100,

∴g(m)最小值为 100. …………………13分

说明：其它正确解法按相应步骤给分.