2001_各向异性弹性波有限元叠前逆时偏移

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第 4 4卷第 5期2 0 0 1年 9月

地球CHI NESE

物理

学

报GEO P HY S I CS

Vo 1 . 4 4 .No. 5 se D.,200 1

J O UP￣ AL

OF

[文章编号] 0 0 0 1—5 7 3 3 c 2 0 0 1 ) 0 5—0 7 1 1—0 9

[中圈分类号] P 6 3 1

各向异性弹性波有限元叠前逆时偏移张美根王妙月中国科学院地质与地球物理研究所 .北京 1 0 0 1 0 1 )

【摘

要]利用有限元法和最小走时射线追踪的界面点法，实现了各向异性弹性菠的叠前逆理论模型资料的偏移结果清晰准确，证实了该系统的可靠性 .通过对各向异性模型

时偏穆

资料的各向同性偏移处理，发现常规偏移剖面存在较太误差，地质体的垂向深度和横向位置与实际模型有偏离

[美键词】各向异性弹性渡，有限元，叠前逆时偏移，射线追踪 .吸收边界条件

1引

言

随着弹性波理论研究的深人和野外勘探的精细化，一系列研究成果表明，地球介质具

有很广泛的波动各向异性效应“ .其中，最为常见的要数薄互层和具有定向分布裂隙的介质产生的视各向异性 (横向各向同性 ),这两类介质在油气藏中占有重要地位，当前生产实际中太都将地下介质视为各向同性介质，这必然存在一定的误差，因而研究适用于各向异性波场的正反演问题的方法技术具有实际意义 .国外已有多人研究过各向异性波的偏移问题，但国内这方面的研究相对较少，滕吉文等和张秉铭”研究过各向异性波的有限差分偏移 .

有限元法是当今波场数值计算中的一种非常有效的方法，自1 9 8 0年美国哥伦比亚太学将有限元法引人到地震波动研究领域以来，有限元法已被成功地应用到各向同性波的数值正演模拟和反演” ,在各向异性波场的正演方面也有文章发表 .本文研究有限元法应用于各向异性弹性波场的叠前偏移 .

2方法原理有限元叠前偏移的实现包括射线追踪和有限元逆时延拓两太部分，即先用射线追踪方法得到炮点

到空间各离散节点直达波的走时；然后以共炮点记录作为地面边界值，利用

有限元逆时算法反推地下各节点各时刻的波场值，记录各节点直达波到达时刻的波场值，其结果输出即为偏移剖面 .[收稿日期] 2 0 0 0—0 9—0 6收到 2 0 0 1—0 4—0 2收到恪定稿 . [基金项目]中国科学院重点项目( K Z 9 5 2一S 1—4 1 1 )及知识创新工程重大项目( K Z C X一0 7)

什E誊葡舟]张美根，男. 1 9 7 0年生

1 9 9 7年中国地质大学 (北京)顼士毕业，主要事各向异性地震波的正反演、地震B m; 呼h @c— 8嘲一 n

赘抖解释等方面的研究

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2 . 1各向异性介质中空间直达波射线追踪

射线追踪有多种方法，两种较传统的方法是打靶法和弯血法 .打靶法计算量大，且当追踪区域较复杂时，可能会存在追踪不到的盲区；弯曲法一个最显著的缺点是其射线路径的走时不能保证为全局最小 .N a k a n i s h i等于 1 9 8 6年提出了一种基于图论的全局最小

走时射线追踪算法 .该方法克服了传统方法的毛病，但精度不是很高 .本文提出一种与它类似，但精度和效率均较高的界面点射线追踪方法，它能够较好地满足叠前偏移对追踪速度和精度的要求 .追踪方法的实现：将追踪区域划分为一系列的小矩形单元，从震源出发，向空间所有

可直接发出直射线的单元节点 (即单元节点与震源连线经过的路径上无波速变化 )发射直射线，以直射线路径来计算震源到达此节点的走时；记录下射线到达节点中落在介质分界面上的节点，它们组成集合 p,从 p中选取走时最小的节点作为新的二次波源，由它再向空间除震源点和已作过二次波源的界面节点外的其他可以用直射线相连的节点发出直射线，这些节点的波至时问为二次源到达它们各自的走时加上震源到达二次源的走时，如果某节点先前已有射线到达，即已具有一个走时，则需将后面的走时与它进行比较，选取

其中的最小走时路径；与此同时，将二次源到达的新的界面节点加人到 Q中，并将二次源本身从 p中除掉；重复选取 p中的晟小走时节点作为二次源，即可实现整个区域各节点直达渡的追踪

对于各向异性介质来说，追踪中还有一个射线速度的问题

各向异性波的波速是随

着传播方向的不同而变化的，一般情况下无法写出射线速度的精确解析表达式 .这里给出 S e n a 提出的具有垂直对称主轴的横向各向同性介质中射线波速的近似表达式

(口 )=(对于印波A o= 对于 q S V波

)~,

( 1 )

, A,=一 2晶i , A=2 ( 一e ) d i ,

。=, A t= z ( ) c a— e , A 2=一 z ( ) c — e ,对 S H波 A o=所， A,=一2 , A=0 .

式中， 0为射线方向与介质对称主轴间的夹角， a,风， a, e和 7为 T h o r a s e n参数 .2 . 2有限元逆时延拓方程

利用 G a l e r k i n方法或动态问题的 Ha m i l t o n原理，可以导出线性弹性介质中弹性波的有限元方程 M 0+ KU= F . ( 2 )

式中， 、 分别为质量矩阵和刚度矩阵， u为节点位移列向量； 为 u对时间的二阶导数； F为节点所受外力列向量，在逆时延拓中，如果不考虑边界条件的影响，它一般为零 向量 .对于二维情况， 和的表达式分别为

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5期

张美根等：各向异性弹性波有限元叠前逆时偏穆

7 I 3

{『 M=∑fⅣ l【| (=∑I I B D B d s .

( 3 )

式中， 为整个区域剖分的单元个数，求和符号后的积分运算在每一单元上进行； P为介质的密度； N为形函数的行向量，它与单元位移所采用的插值形式有关； B为梯度矩阵； D为弹性矩阵，它随介质弹性性质的不同而不同； d代表单元上的面积微元 . 方程 ( 2 )的求解必须配以一定的初始条件和边界条件 .对于叠前偏移，地下节点的初始条件 (本文以记录的 f=T时刻为初始值，然后反推到 t

=0时刻 )为

i『 u ( , )= 0, ￡, (¨, . ): 0.对于地表边界，有u(, 0, t )= U (, t ) .

( )

( 5 )

其中， U。 (, )为地表记录；￡,代表 U对时间的一阶导数 .由于其他边界为人工截断边界，必须加上吸收效果好的吸收边界条件，才能得到较真实的结果 . 2, 3吸收边界条件边界条件吸收边界反射的好坏影响到偏移结果的好坏，甚至能够决定偏移的成功与

否.本文采用的是廖振鹏提出的离散透射边界和 S a _ n n a提出的衰减边界 .

:的组合边

令=0, =口及=h分别表示模型的左边界，右边界和底边界，则廖振鹏提出的离散透射边界的二维表达形式为

U ( 0, , t+ a t )=∑ (一1 ) c u ( i v A t,=,一( i一1 ) a t ),=

1

u ( a, ,+ A t )=∑ (一1 )¨ c u (Ⅱ一i v A t, ,一( i一1 )△‘ ),i - 1

( 6 )

u (, h,¨ a t )=∑ (一 1 ) CU ( , h—i v A t,￡一( i—t ) a t ) .1= 1

其中，u( o,=, +△ ), U( 4,=, + At ), U(, h, +At )分别表示+△时刻左边界、右边界和底边界节点的位移值， n为边界条件的阶数， C: — w, 可取介质最大最‘ :‘【

小波速间的某一值+可以看出式中右边所取的 u值点通常不会正好属于剖分网格的节点，故需利用网格节点进行插值计算 . S a r m a提出的衰减边界采用有限元方程 ( 2 )中引人 R a y l e i 阻尼衰减项来实现^ + CU+ KU= F . ( 7)

式中， c为衰减 (阻尼 )矩阵 .在边界部位的吸收带内， c= 于其他节点 . c=0.