机械工程控制基础_第三章

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第三章 时间响应分析

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主要内容时间响应的概念 3.2 典型的输入信号 3.3 一阶系统的时间响应分析 3.4 二阶系统时间响应分析 3.5 高阶系统 3.6 系统误差分析与计算 3.1

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3.1 时间响应的概念

【回顾】:经典控制理论所要解决的几大问题：建模 分析 综合

分析问题：已知系统(包括被控对象、控制装置)及 输入，求输出； 综合问题(设计问题):已知被控对象和要求的输入 输出，设计控制器； 这一章要讨论的是第一类问题，并且是在时间域里， 下一章将学习频率域里的响应分析。

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【时间响应】: 描述系统的微分方程的解响应：在输入作用下，系统输出从振荡到稳定下来的过 程。 控制系统在一定的输入作用下，输出也会有一个振荡的 过程，这一过程我们称之为瞬态响应，或过渡过程；当 过渡过程结束后，输出会达到一个稳定的状态，我们称 为“稳态”(稳态响应); 本章所研究的就是“过渡过程”; ——当然，并不是所有的“过渡过程”都是这种形 式的，不同类型的系统，会有不同的响应曲线，有的是 “反复振荡的”,有的是缓慢上升的，这跟系统的“阶 次”及输入信号的类型有关。

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系统的阶次：阶次就是指传递函数分母的最高阶 次，也就是描述系统的微分方程的阶次。dny d n 1 y dy d mu d m 1u du an n an 1 n 1 a1 a0 y bm m bm 1 m 1 b1 b0u dt dt dt dt dt dt

Y (s) bm s m bm 1s m 1 b1s b0 G( s ) U (s) an s n an 1s n 1 a1s a0

这里的“n”即是系统的“阶 次”

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时间响应的组成y(t)

my(t ) ky(t ) u (t )u(t )

m

F cos t

my(t ) ky(t ) F cos t

(1)

解由两部分组成： y(t ) y1 (t ) y2 (t )y1 (t ):与方程(1)对应的齐次方程的解 y2 (t ):方程(1)的一个特解y1 (t ) C1 sin nt C2 cos nt,其中 n k / m F 1 y2 (t ) cos t 2 k 1-( / n )

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完全解为：y (t ) y1 (t ) y2 (t ) F 1 C1 sin nt C2 cos nt cos t (2) 2 k 1-( / n ) 对上式两端求导得： F y(t ) C1 n cos nt C2 n sin nt sin t (3) 2 k 1-( / n ) 初始条件：设t 0时，y(t ) y(0),y(t ) y(0)将初始条件带入(2)(3)可解得：

F 1 C1 ,C2 y(0) n k 1-( / n )2

y(0)

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整理：

自由响应(通解)y(t ) y(0) sin nt y(0) cos nt

强迫响应(特解)

n

F 1 F 1 cos nt cos t 2 2 k 1 ( / n ) k 1 ( / n )

零输入响应

零状态响应

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控制工程主要研究系统的零状态响应。零状态响应和零输入响应

控制系统的时间响应

零状态响应仅有激励而初始 状态为零的响应

零输入响应仅有初始状态而激 励为零时的响应

若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，则对 于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应必然是每 个输入单独作用时相应输出的叠加。

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更一般的情况 an y( n) (t ) an 1 y( n 1) a1 y(t ) a0 y(t ) u(t )解由两部分组成：y(t ) y1 (t ) y2 (t )y1 (t ) Ci esit,y2 (t ) B(t ) y1 (t ) C1i e C2i esi t i 1 i 1 i 1 n n si t n

特解(强迫响应) 通解(自由响应)

由输入引起的自由响应 由系统初态引起的自由响应

自由响应n n

强迫响应

y(t ) C1i esit C2i esit B(t )i 1 i 1

零输入响应

零状态响应

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注意：1)系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态 无关；y(t ) L 1[G(s) X (s)] 所求得的输出是系统的零状态 2)由

响应，因在定义系统的传递函数时，已指明系统的初态为 零，故取决于系统的初态的零输入为0;3)对于线性定常系统，若 (t )引起的输出为 (t ),则x ' (t )引起 x y 的输出为y ' (t )

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瞬态响应和稳态响应系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡。

若所有的Re Si<0,则随着时间的增加，自由响应逐渐衰减，当t→∞ 时，自由响应趋于0(也就是系统的极点都在左半平面),系统稳定， 自由响应称为瞬态响应；反之，若有一个Re Si>0,则自由响应逐渐增 大，当t→∞时,自由响应趋于无穷，系统稳定，自由响应不能称为瞬态 响应。稳态响应一般就是指强迫响应。 特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况，虚部绝对值越大，则自 由响应项的振荡越剧烈。

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3.2 典型输入信号：1、定义:

一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动， 扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数形式 也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不 同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入 信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典 型输入信号。

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2、作用: 在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但由于 在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信 号的时间响应之间存在一定的关系，所以，只要知道系 统对典型输入信号的响应，再利用关系式：X o1 ( s) X o 2 ( s) G( s) X i1( s ) X i 2( s )

就能求出系统对任何输入的响应。 3、对典型输入信号的要求 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于解析分析； 实际中可以实现或近似实现。

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4、典型输入信号的选择原则能反映系统在工作过程中的大部分实际情况； 如：若实际系统的

输入具有突变性质，则可选阶 跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则 可选速度信号。

注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号， 由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。

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典型输入信号

阶跃信号 速度(斜坡)信号 加速度(抛物线信号)信号 脉冲信号 正弦信号 随机信号

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1. 阶跃信号 0 u(t ) R(t ) RR 为常数

t 0 t 0

u(t)R

t

R=1 时 单位阶跃信号，常表示为1 U (s) s

u(t) = 1( t )

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2. 斜坡(速度)信号 Rt , t 0 u (t ) 0, t 0R=1 时 单位斜坡信号

u(t)

t

t u(t ) 0U (s) 1 s2

t 0 t 0

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3.加速度(抛物线)信号 Rt 2, t 0 u (t ) 0, t 0R=1/2 时 单位加速度信号u(t)

t

1 U (s) 3 s