4-2 不定积分的换元积分法

一、第一类换元法问题

cos

2 xdx sin 2 x C ,

解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t 2 x dx 1 1 2 dt , 1 2 sin 2 x C .

cos

2 xdx

cos 2

t dt

1 2

sin t C

在一般情况下：

设 F ( u ) f ( u ), 则 f ( u ) du F ( u ) C .如果 u ( x )(可微) dF [ ( x )] f [ ( x )] ( x ) dx

f [ ( x )] ( x ) dx F [ ( x )] C

[ f ( u ) du ] u ( x )

由此可得换元法定理

定理1

设 f ( u ) 具 有 原 函 数 ，u ( x ) 可 导 ，

则有换元公式

f [ ( x )] ( x )dx [ f ( u)du]u ( x )

第一类换元公式(凑微分法) 说明 使用此公式的关键在于将

g ( x ) dx 化为 f [ ( x )] ( x ) dx .

观察重点不同，所得结论不同.

例1

求 sin 2 xdx .1

解(一) sin 2 xdx 1 2

sin 2

2 xd ( 2 x )

cos 2 x C ;

解(二) sin 2 xdx 2 sin x cos xdx 2 sin xd (sin x ) sin x C ;2

解(三) sin 2 xdx 2 sin x cos xdx 2 cos xd (cos x ) cos x C .2

例2 求 解

1 3 2x 1

dx . 1 1 ( 3 2 x ) ,

3 2x

2 3 2x 1

3 1

1 2x 1

dx

2 3

1 2x

( 3 2 x ) dx 1 2 1 a [ f ( u ) du ] u ax b ln( 3 2 x ) C .

u du 2

1 2

ln u C

一般地

f ( ax b ) dx

例3

求

1 x ( 1 2 ln x ) 1

dx .

解

x ( 1 2 ln x )

dx

1

1 2 ln x

d (ln x )

1

2 1 1 1

1 2 ln x

d ( 1 2 ln x )

u 1 2 ln x

2 u

du

1 2

ln u C

1 2

ln( 1 2 ln x ) C .

例4 求 解

x (1 x ) x x)33

dx .

(1

dx

x 1 1 dx 3 (1 x )13

[ (1 1

1 x)2

(1 x )

]d ( 1 x ) C2

1 x 1 1 x

C1 1

1 2 (1 x )2

2

2 (1 x )

C.

例5 求

1 a x2 2

dx .1 a2

解

1 a x2 2

dx

1

1 x a2 2

dx

1 x d arctan 2 a a x a 1 a 1 1

x a

C.

例6 求

1 x 8 x 252

dx .

解 1 3

1 x 8 x 252

dx

( x 4)2 9dx1 3

1

2

1 x 4 1 3 2

dx

1 x 4 1 3 2

x 4 d 3

1 3

arctan

x 4 3

C.

例7 求 解

1 1 e 1x

dx .

1 e x dxx

1 e ex

x

1 e

x

dxex

e dx 1 x 1 e

dx 1 e x dxx

dx

1 1 ex

d (1 e ) x

x ln( 1 e ) C .

101130

例8 求 ( 1 解

1 x

x

1 x

)e 2

dx .

1 1 x 1 2, x x

(1

1 x

x

1 x

)e 2

dxx 1 x

e

x

1 x

d(x

1 x

) e

C.

例9 求

1 2x 3 2x 1

dx .2x 1

原式 2x 3 1

2x 3

2 x 1 2 x 3

2 x 1

dx

4

2 x 3 dx

1

4

2 x 1dx

1

81

2 x 3d ( 2 x 3 ) 2x 3 3

1

83

2 x 1d ( 2 x 1 )

12

1 12

2 x 1 C .

例10 求 解1

1 1 cos x 1

dx .

1 cos x

dx

1 cos x 1 cos x dx 12

1 cos x

1 cos sin 21 x

1 cos x2

x

dx

1 cos x sin2

dx

x

dx 1

d (sin x ) x

sin

cot x

C.

sin x

例10 求 解2 1 2

1 1 cos x 1

dx .1 1 2 cos2

1 cos x

dx

x 2

dx 1

2 x 2

1 cos C2

x 2

d

x 2

sec

2

x 2

d

x 2

ta n

例11 求 sin 2 x cos 5 xdx . 解 sin 2 x cos 5 xdx sin 2 x cos 4 xd (sin x )

sin (sin1 3 sin

2

x ( 1 sin2

2

x ) d (sin x )6

2

x 2 sin

4

x sin

x ) d (sin x )7

3

x

2 5

sin

5

x

1 7

sin

x C.

说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.

例12 求 cos 3 x cos 2 xdx .解 cos A cos B [cos( A B ) cos( A B )],2cos 3 x cos 2 x 1 2 (cos x cos 5 x ), 1

1

cos 1 2

3 x cos 2 xdx 1 10

(cos 2

x cos 5 x ) dx

sin x

sin 5 x C .

例13 求 csc xdx . 解(一) csc xdx 1

1 sin x

dx

2 sin

1 x 2 cos x 2

dx

x 1 x d d tan 2 x 2 x x 2 tan tan cos 2 2 2

ln tan

x 2

C ln(csc x cot x ) C .

(使用了三角函数恒等变形)