2014年成人高考数学模拟试题及答案3(2)

解：（Ⅰ）设Q(x0,4)，代入由y 2px(p 0)中得x0

2

8

， p

所以PQ

8pp8p858

,QF x0 ，由题设得 ，解得p 2（舍去）p22p2p4p

或p 2

所以C的方程为y 4x.

（Ⅱ）依题意知直线l与坐标轴不垂直，故可设直线l的方程为x my 1,(m 0)，

代入y 4x中得y 4my 4 0，

设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1 y2 4m,y1y2 4，

2

故AB的中点为D(2m

1,2m)2

22

y2 4(m2 1)，

1

y 2m2 3， m

有直线l 的斜率为 m，所以直线l 的方程为x 将上式代入y 4x中，并整理得y2

2

4

y 4(2m2 3) 0. m4

设M(x3,y3),N(x4,y4)，则y3 y4 ,y3y4 4(2m2 3).

m

222

故MN的中点为E(2 2m 3, )，

mm

MN y3 y4 由于MN垂直平分AB，故A,M,B,N四点在同一个圆上等价于AE BE

1

MN,从而2

11222

AB DE MN, 44

2224(m2 1)2(2m2 1)2即4(m 1) (2m ) (2 2) ，

mmm4

2

2

2014年成人高考数学模拟试题及答案3

化简得m 1 0，解得m 1或m 1，

所以所求直线l的方程为x y 1 0或x y 1 0

2