数值分析_线性方程组迭代解法Hilbert矩阵(3)

1.000094 1.000047 1.000009 0.999981 0.999953

x

15

0.999705 0.999853 0.999971 1.000059 1.000147

0.999802 0.999901 0.999980 1.000040 1.000099

1.000025 1.000013 1.000003 0.999995 0.999987

1.000246 1.000123 1.000025 0.999951 0.999877

1.000327 1.000164 1.000033 0.999935 0.999836

1.000149 1.000075 1.000015 0.999970 0.999925

0.999619 0.999810 0.999962 1.000076 1.000190

相对误差 0.0002324 0.000116 2.32E-05 4.65E-05 0.0001162 0.999815 0.999908 0.999982 1.000037 1.000092

迭代步数 9 9 12 9 9

3. 直接法与迭代法比较分析

根据之前的计算结果，SOR法的解和迭代步数与松弛因子和初始向量值均有较大的关系；对于共轭梯度法，不同的初始向量导致最终的迭代步数有较大的不同。而比较直接解法与迭代法的结果（此处对相对误差进行分析）结果如下： n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 Gauss Cholesky SOR CG 5.661E-16 6.329E-16 2.92E-06 1.84E-15 1.018E-14 3.740E-15 4.47E-05 8.79E-14 3.778E-13 1.871E-13 7.74E-04 5.39E-10 1.553E-12 1.196E-12 1.26E-03 0.000413 2.517E-10 2.587E-10 0.002261 7.59E-05 8.425E-09 1.215E-08 0.00157 0.000181 2.506E-07 2.282E-07 0.001088 3.00E-05 8.609E-06 9.792E-06 0.001218 0.000339 2.238E-04 1.963E-04 0.001509 0.000439 4.641E-03 4.954E-03 0.001819 0.000542 9.546E-02 1.554E-01 0.0021 2.21E-05 3.065E+00 2.146E+01 0.001853 2.95E-05

由此可见，当病态问题的阶数较低时，直接解法能够更好地求得精确解，而迭代法却存在一定的误差。当病态问题的阶数升高时，直接解法将会导致很大的误差；而SOR法和CG、PCG法仍能求解并且能够保证一定的精度；选择合适的松弛因子或初始向量能够使得迭代解法收敛速度加快。