数值分析_线性方程组迭代解法Hilbert矩阵

数值分析第二次上机实习报告

——线性方程组迭代解法

一、问题描述

设 Hn = [hij ] ∈ Rn×n 是 Hilbert 矩阵, 即

hij=

对n = 2,3,4，…15, 1 i+j 1

1 x ∈Rn×n，及bn=Hnx，用SOR迭代法和共轭梯度法来求解，并与直取=

1

接解法的结果做比较。

二、方法描述

1. SOR迭代法

记H = D – L – U，SOR法的分量形式可以写成向量形式

x(k+1)=(1 ω)x(k)+ωD 1(b+Lx(k+1)+Ux(k))

(D ωL)x(k+1)=[(1 ω)D+ωU]x(k)+ωb

整理成

x(k+1)=Lwx(k)+ω(D ωL) 1b

其中，Lw为SOR法的迭代矩阵：

Lw=(D ωL) 1[(1 ω)D+ωU]

这相当于方程组Hx=b的系数矩阵分裂为H = M – N，其中

=M

N=1ω1(D ωL)

ω[(1 ω)D+ωU]

由此得到等价方程组x = M-1Nx+M-1b，利用它构造迭代法。

2. 共轭梯度法

梯度法通常的做法是先任意给定一个初始向量，然后确定一个搜索的方向和搜索步长，如此循环直到找到极小值。共轭梯度法是从整体来寻找最佳的搜索方向。它的第一步是取负梯度方向作为搜索方向，对以后各步，是在过当前点由负梯度向量和上一步的搜索向量组成的平面内寻找最佳的搜索方向。具体算法如下：

a)任取x(0)∈Rn

b) r(0)=b Ax(0),p(0)=r(0)

c)对k=0,1,…

(r(k),r(k)) αk=(k)(k)(p,Ap)

+1)x(k=x(k)+αkp(k)

+1)r(k=r(k) αkAp(k)

(r(k+1),r(k+1)) βk=(r(k),r(k))

(k+1)p=r(k+1)+βkp(k)

三、方案设计

将以上两种迭代计算的方法通过MATLAB进行编程实现，从而对上述问题进行求解。在所有的程序文件中，xmain.m为主程序文件，包括SORmain.m和CGmain.m；SOR.m文件为超松弛迭代法解方程的matlab算法，CG.m文件为共轭梯度法求解方程的matlab算法，PCG文件为预处理共轭梯度法求解方程的matlab算法。

四、计算结果及其分析

1. 超松弛迭代法分析

令初始向量x0=u(1,1,……)T，给定不同的初始向量与松弛因子，计算不同情况下解的情况。计算结果如下。

n 项目 w=0.6 w=0.6 w=0.8 w=1.2 w=1.5

u=0.5 u=0.9 u=0.9 u=0.9 u=0.9

1.000004 1.000004 1.000002 1.000001 1.000000

x

0.999993 0.999993 0.999997 0.999999 1.000000

2

相对误差 5.52E-06 5.62E-06 2.92E-06 9.87E-07 2.66E-07

迭代步数 82 68 52 25 20

0.999983 0.999983 0.999989 0.999995 0.999998

x 1.000088 1.000087 1.000056 1.000024 1.000011

3 0.999918 0.999918 0.999948 0.999978 0.999991

相对误差 7.00E-05 6.97E-05 4.47E-05 1.91E-05 8.39E-06

迭代步数 859 663 485 266 147

1.000074 1.000074 1.000048 1.000022 1.000011

0.999193 0.999194 0.99948 0.999768 0.999885

x

1.001911 1.00191 1.001227 1.00054 1.000261

4

0.99877 0.998771 0.999213 0.999657 0.999837

相对误差 1.21E-03 1.21E-03 7.74E-04 3.41E-04 1.64E-04

迭代步数 5829 1946 2864 2500 1739

0.999975 1.000025 1.000008 0.999977 0.999935

1.000832 0.999908 1.00011 1.000568 1.001285

x 0.995526 0.999468 0.998907 0.997239 0.994341

5 1.007626 1.001714 1.002253 1.004462 1.008641

0.99597 0.998847 0.998691 0.997720 0.995745

相对误差 0.004362 0.000955 1.26E-03 2.57E-03 5.03E-03

迭代步数 3231 2025 1835 1427 1419

0.999835 0.999977 0.999949 0.99994 0.999962

1.002532 1.00055 1.000912 1.000915 1.000581

0.991964 0.997852 0.99679 0.996997 0.998145

x

1.00473 1.001599 1.002353 1.002282 1.001219

6

1.007792 1.002089 1.002614 1.001852 1.001502

0.99302 0.997879 0.997322 0.997976 0.998565

相对误差 0.005814 0.00165 0.002261 0.001941 0.0012638

迭代步数 6378 1443 1250 4696 6902

0.999907 0.999904 0.99993 0.999965 0.999983

1.001133 1.001298 1.000909 1.000405 1.000113

0.997776 0.996691 0.997785 0.999344 1.000438

x 0.998407 1.000441 1.000094 0.998948 0.997445

7 1.003328 1.003055 1.002164 1.001719 1.002667

1.003857 1.001651 1.001319 1.001235 1.000627

0.995503 0.996878 0.997744 0.998353 0.998706

相对误差 0.002802 0.002225 0.00157 0.001127 0.0015077

迭代步数 10821 1411 3878 5204 5444

0.999956 0.999932 0.999956 0.999986 1.000005

1.000247 1.000753 1.000439 0.999983 0.999654

1.000987 0.998662 0.99951 1.001113 1.002575

8 x

0.99641 0.999205 0.998821 0.997047 0.994509

0.999515 1.000983 1.000563 1.000803 1.002730

1.004153 1.001814 1.00171 1.001964 1.001101

1.003505 1.000748 1.000865 1.001003 1.001614

0.995145 0.99784 0.99809 0.998066 0.997780

相对误差 0.0029 0.001249 0.001088 0.00155 0.0025764

迭代步数 8987 3889 4312 4297 4339

1.000006 0.999956 0.999978 1.00001 1.000031

0.999427 1.000368 1.000068 0.999538 0.999149

1.003545 0.999834 1.000724 1.002775 1.004623

0.99582 0.99888 0.9983 0.995748 0.992332

x 0.996358 0.999739 0.99933 0.999679 1.002330

9 1.002141 1.001106 1.001204 1.001784 1.000738

1.005742 1.00155 1.00181 1.002206 1.003019

1.00315 1.000499 1.000627 1.00062 1.000129

0.993715 0.998011 0.997912 0.997596 0.997602

相对误差 0.00381 0.001017 0.001218 0.002116 0.0033623

迭代步数 7124 3944 3797 3451 3263

1.000066 0.999977 1.000001 1.000041 1.000069

0.998534 1.000054 0.999712 0.999029 0.998486

1.005874 1.000672 1.00175 1.004447 1.007016

0.996128 0.998886 0.998141 0.994858 0.990304

10 x

0.993805 0.998912 0.998328 0.998514 1.001728

0.999227 1.000283 1.000399 1.001125 0.999852

1.005241 1.001468 1.001894 1.002573 1.003709

1.006835 1.001551 1.001869 1.002117 1.001669

1.002274 1.000294 1.00031 1.000153 1.000333

0.991889 0.997846 0.997543 0.997083 0.996767

相对误差 0.004856 0.001107 0.001509 0.002651 0.0041908

迭代步数 5832 3535 3234 2824 2644

1.000146 0.999998 1.000027 1.00008 1.000051

0.997563 0.999761 0.999335 0.998634 0.999131

1.007714 1.00135 1.002685 1.004913 1.003122

0.997486 0.999073 0.998234 0.995997 0.997326

0.992286 0.998339 0.997522 0.997714 0.999096

x 0.996042 0.999468 0.999475 0.999831 0.999268

11 1.002869 1.001012 1.001506 1.001711 1.001148

1.007365 1.001851 1.002354 1.002302 1.001434

1.006913 1.001525 1.001761 1.001625 1.001294

1.001042 1.000021 …… 此处隐藏：4693字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……