《大学物理教程习题答案》上海交通大学出版社

习题1

1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=R(cosωti sinωtj) 其中 为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：(1) 由r=R(cosωti sinωtj)，知：x Rcos t ，y Rsin t 消去t可得轨道方程：x2 y2 R2

∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R的圆；

dr

（2）由v ，有速度：v Rsin ti Rcos tj

dt

而v v，有速率：v [( Rsin t)2 ( Rcos t)2]

2

R。

1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r 4t2i (3 2t)j，式中r的单位为m，t的单位为s。求：（1）质点的轨道；（2）从t 0到t 1秒的位移；（3）t 0和t 1秒两时刻的速度。 解：（1）由r 4t2i (3 2t)j，可知x 4t2 ，y 3 2t 消去t得轨道方程为：x (y 3)2，∴质点的轨道为抛物线。

dr

（2）由v ，有速度：v 8ti 2j

dt

1

vdt (8ti 2j)dt 4i 2j 0 0

（3）t 0和t 1秒两时刻的速度为：v(0) 2j，v(1) 8i 2j 。

1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为r t2i 2tj，式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）任

从t 0到t 1秒的位移为： r

1

一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

dr dv

解：(1)由v ，有：v 2ti 2j，a ，有：a 2i；

dt

dt

（2）而v v，有速率：v [(2t)2 22]

∴at

dvdt

2

222

a at an有：

an

1-4．一升降机以加速度a上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为y1，升降机上升的高度为y2，运动方程分别为

y1 v0t

1

212

y2 v0t at （2）

2

gt （1）

2

y1 y2 d （3） （注意到y1为负值，有y1 y1）

联立求解，有：t

解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速度修正为g' g a， 利用d

1

12

g't，有：t

2

1-5．一质量为m的小球在高度h处以初速度v0水平抛出，求：

（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的

drdt

h

，

dvdt

，

dvdt

。

解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：

1 2

x v0t ，y h gt ，∴r v0ti (h gt)j；

22

1

2

（2）联立上面两式，消去t得小球轨迹方程：y

gx2v

22

； h（为抛物线方程）

1dr 2

（3）∵r v0ti (h gt)j，∴ v0i gtj，

2dt

dv

即：v v0i gtj， gj

dt

dr

在落地瞬时，有：t

v0i j

dt

又∵ v

g2tdv

，∴

dt[v2 (gt)2]2

。

1-6．路灯距地面的高度为h1，一身高为h2的人在路灯下以匀速v1沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.

证明：设人向路灯行走，t

由相似三角形关系可得：∴x1

h1h1 h2

x2

1

2

x1 x2

x1

h2h1

，

两边对时间求导有：

dx1dt

h1dx2h1h1 h2

h1 h2dtdt

，考虑到：

dx2dt

v1，

知人影中头的速度：v影

dx2

v1（常数）。

2

1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为x 2 4t 2t(m)，在 t从0秒到3秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少？

解：由于是求质点通过的路程，所以可考虑在0~3s的时间间隔内，质点速度为0的位置：

v

dxdt

4 4t 若v 0 解得 t 1s，

x1 x1 x0 (2 4 2) 2 2m

x3 x3 x1 (2 4 3 2 3) (2 4 2) 8m

2

x x1 x2 10m。

1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度

平的倾角 30，问它第二次碰到斜面的位远(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时

2

h 20cm，斜面对水

置距原来的下落点多

人射角等于反射角)。

解：小球落地时速度为v0

2gh，建立沿斜面的直角坐标系，以小球第一次落地点为坐标原点如图示，

vx0 v0cos60→ x v0cos60t

vy0 v0sin60→ y v0sin60t

1212

gcos60t （1） gsin60t （2）

2

02

第二次落地时：y 0，代入（2）式得：t 所以：x v0cos60t

2v0g

，

4h 80cm。

12

gcos60t

02

2v0g

2

2 2ghg

1-9．地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm/s2，设赤道上重力加速度为9.80m/s2。 解：由向心力公式：F向 m R，

赤道上的物体仍能保持在地球必须满足：F向 mg，而现在赤道上物体的向心力为：F'向 ma

∴

2

0

16.98 17

1-10．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为 。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：（1）抛物线顶点处子弹的速度vx v0cos ，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g。 因此有：g

v

2

1

(v0cos )

2

1

，

1

v0cos

g

22

；

角，则：an gcos ，（2）在落地点时子弹的v

0有：gcos

v0

2

2

则：

2

v0

2

gcos

。

1b

t)ln(1 bt)，其中b是与燃料燃烧速率有关的量，u为燃

1-11．一飞行火箭的运动学方程为x ut u(

气相对火箭的喷射速度。求：

（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。 解：一维运动，直接利用公式：v

dxdt

dt

dxdvub

uln(1 bt) ， （2）a （1）v dtdt1 bt

，a

dv

有：

1-12．飞机以v0 100m/s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h 98m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点

y多远?

解：设此时飞机距目标水平距离为x有：

3

x v0t┄①，h

12

gt┄②

xh

77.5。

2

联立方程解得：x 447m，∴ arctan

1-13．一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0 49.0m/s，而气球以速度

v 19.6m/s匀速上升，问气球中的观察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？

解：物体在任意时刻的速度表达式为：vy v0 gt