3.5厄密算符本征函数的正交性

课件

Quantum mechanics

§3.5 厄密算符本征函数的正交性

§3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction一、定义:如果两函数和满足

* 1

2

d ( 1 , 2 ) 0

则称两函数相互正交. 二、定理:厄密算符属于不同本征值的两个 本征函数相互正交. 证明:设厄密算符的本征函数为 相应的本征值为

1, 2, , n 1 , 2 ,..., n ,...

第三章 量子力学中的力学量

1/9

课件

Quantum mechanics

§3.5 厄密算符本征函数的正交性

, F , 即: F k k k l l l k l )* * * * * , ( Fk k k k k k k

)* d * d ( F k k l k l )d * d * (F

k

l

l

k

l

厄密算符定义:

* )* d ( F ) d ( F k l k l * * k k l d l k l d * 即 : ( k l ) k l d 0 * k l : k l d 0

所以:两函数正交.第三章 量子力学中的力学量2/9

课件

Quantum mechanics

§3.5 厄密算符本征函数的正交性

三、正交归一系 满足条件:

1, k l l d kl , kl 0, k l* k

* 或 : d ( )

函数系φk或φλ构成正交归一系. [例](1),线性谐振子能量本征函数构成正交归一系

n ( x) NneNn Nn e 2 x2

1 2 x2 2

H n ( x)

H n ( x) H n ( x)dx nn 3/9

第三章 量子力学中的力学量

课件

Quantum mechanics

§3.5 厄密算符本征函数的正交性

(2),角动量算符Lz的本征函数组成正交归一系

m

1 im e , m 0, 1, 2,... 2

2

0

* m m d mm

(3),角动量平方算符的本征函数组成正交归一系

Ylm ( , ) Nlm P (cos )e l|m|

im

0

2

0

Y Y

* lm l m

sin d d ll mm 4/9

第三章 量子力学中的力学量

课件

Quantum mechanics

§3.5 厄密算符本征函数的正交性

(4),氢原子的本征函数组成正交归一系

nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )

0 0

2

0

* nlm (r, , ) n l m (r, , )r 2 sin drd d nn ll mm

(5),一维无限深方势阱的本征函数组成正交归一系

1 n x n ( x) sin , (| x | a), n 1, 2,... 2a a

a

a

( x) n ( x) nn * n

第三章 量子力学中的力学量

5/9

课件

Quantum mechanics

§3.9 例题

例2.能级E有3个简并态ψ1, ψ2, ψ3, 彼此线性独立,但 不正交,试把它们构成正交、归一的波函数(P86).解:第一步,把ψ1归一化

1 1 / 1 | 1 * i | j i ( x) j ( x)dx

第二步,

2 c21 1 1 | 2 2 0 1 | 2 c21 2 1 | 2 1 c21 1 | 2 2

再把φ’2归一化 第三步,

/ 2 | 2 2 2第二章 波函数和薛定谔方程

3 c32 2 c31 1 36/9

课件

Quantum mechanics

§3.9 例题

3 c32 2 c31 1 3由正交性

0 1 | 3 c31 1 | 3 0 2 | 3 c32 2 | 3

c31 1 | 3 , c32 2 | 3 3 2 | 3 2 1 | 3 1 3再把φ’3归一化

/ 3 | 3 3 3施密特正交归一化方法7/9

φ1 ,φ2 ,φ3满足正交归一化

第二章 波函数和薛定谔方程

课件

Quantum mechanics

本章目录

第三章 量子力学中的力学量 Mechanical quantity in quantum mechanics§3.1 表示力学量的算符 Operators expressed the mechanical quantities§3.2 动量算符和角动量算符 Momentum operator & angular momentum operator §3.3 电子在库仑场中的运动 Electronic movement in Coulomb field §3.4 氢原子 Hydrogen atom第三章 量子力学中的力学量8/9

课件

Quantum mechanics

本章目录

§3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction §3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator & mechanical quantity §3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation §3.8 力学量平均值随时间的变化守恒定律 Changing of average value of mechanical quantities with time Law of conservation第三章 量子力学中的力学量9/9