关于格林公式_高斯公式和斯托克斯公式的历史注记

关于格林公式,高斯公式和斯托克斯公式的历史注记

陈　宁(华北石油职工大学　河北固安　065506)

在不同高维空间中体现微分和积分为一对矛盾的是格林公式,高斯公式和斯托克斯公式.

1.格林(1793～1841年),英国自学成才的数学家、物理学家,他在研究电磁学的过程中采用了彻底的数学方式来叙述静电磁学.1828年,格林自费出版了一本小册子《数学分析在电磁学理论中的应用》,由于印数不多,传播范围不广,当时并未引起人们注意,后来英国数学物理学家汤姆逊(1824～1907年)发现,并认识到它的巨大价值,1854年,他将这篇论文重新发表在著名的数学期刊《数学杂志》上,此时格林已逝世十四年了.

格林的这篇论文,在数学和物理研究中都有着重要的意义,首先,他开创了用纯数学方法研究电磁学等物理问题的先河,在他工作的影响下,形成了一个著名的剑桥数学物理学派.

著名的格林公式是:

D(-)dxdy= x yPdx+∮LQdy

　　它说明平面区域D上的二重积分可以通过其边界曲线L上的曲线积分表示,它是牛顿-莱伯尼兹公式在平面区域上的推广.

2.斯托克斯(1819～1905年),英国数学家,物理学家,剑桥数学物理学派的代表人物之一,后被英王封为爵士.

斯托克斯公式,是这一系列公式中最为奇妙的一个,它公开出现是作为剑桥大学1854年度史密斯奖学金考试的第八题.这一由剑桥大学里数学最优秀的学生参加的考试,从1849年至1882年由斯托克斯主持,因此这一公式被人们称为“斯托克斯公式”.实际上,这一公式是汤姆逊在1850年7月2日写给斯托克斯信中给出的.当时人们至少给出了三个证明:汤姆逊给出第一个,另二个分别见于汤姆逊和泰特合著的《自然哲学》和麦克斯伟的“电磁论”(1881年)等书籍中.斯托克斯公式为

∮Pdx+Qdy+Rdz=L ∑-)dydz+(-)dzdx+(-()dxdy　　它说明一闭曲线积分可以由该曲线为边的一个曲面积分所表示.它在数学的某些分支发展中起了突出的作用.

3.高斯公式: 　(++)dv=　(Pcos + ∑Qcos +Rcos )dS,被俄国人称为奥

-高定理.奥斯特洛夫斯基(1806～1862年)是十九世纪俄国最伟大的数学家,物理学家,他在1828年,在研究体积积分和曲面积分相互关系时,得到这一公式的,其后又将它推广到n重积分上去.

这个公式同高斯(1777～1855年)利用数学知识研究静电学有关.1839年他发表了《与距离平方成反比的吸引力和排斥力的普遍定理》一文,在证明泊松方程后,得到了(下转第10页)

和=30+5=30+4-17-330(12)　　　例3　求过点P,与平面 平行,又与直线L相交的直线方程.

解　首先构造直线束(9),方法同例1.令直线(9)与平面 平行,得

3 +(-4)(1+ )+1 (2-3 )=0

所以 =-2.将其代入直线束(9)得所求直线方程

==-117(13)　

　　例4　求一直线的方程,该直线过点P,与直线L相交,与平面 相交于点Q,并且距离 PQ 达到最小值.

→→解　首先构造直线束(9),方法同例1,再设直线束(9)所在平面为 1,其法矢为n1,则n1=→→→1×P2={5,-2,1},设 1与 之交线L1的方向向量为S,可取S=-n1×{3,-4,1}2

={-1,1,7}.若直线(9)垂直于交线L1,则 PQ 达到最小值,所以令

{-1,1,7} { ,1+ ,2-3 }=0

得 =,代入直线束(9)得所求直线方程7

==512-1(14)　

　　显而易见,利用直线束解决上述几个空间解析几何问题,思路明晰,过程简洁.而用传统方法求解,则或者思路繁杂,缺乏普遍意义,或者求解过程冗长.综上所述,正如平面束一样,直线束也是解决空间解析几何问题的一种实用的和十分有效的工具.

(上接第32页)

被称为电通量的高斯公式 SE dS= ∑q,这个结果实际上是高斯公式在电磁学中应用.0

这些公式都是在研究物理过程中或在研究其他数学分支如偏微分方程中产生的,这说明微积分在其他学科中的应用,永远是推动本身发展动力之一.

随着三个公式的产生及在物理学中的广泛应用,人们对这三个公式的本质及其内在联系的讨论也开始了.人们发现可以用旋度,散度这些向量分析的概念来描述这些公式.

高斯公式可被表示为 FdV= S F ndS,叫做散度定理;斯托克斯公式被表示为

ScurlF ndS= ∮ F dr所以也被称为旋度公式.

由此从局部分析发展为大范围分析,人们对这三个定理的研究也进入一个新阶段.