高等数学考研知识点总结4

按章节知识点总结,适合基础复习

第四讲 定积分与反常积分

一、 考试要求

1． 理解（了解）定积分的概念。

2． 掌握定积分的性质及换元积分法与分部积分法，掌握（了解）定积分中值定

理。

3． 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。

4． 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式。 5． 了解反常积分的概念，会计算反常积分。

二、内容提要

1 定义 f(x)dx lim f( i) xi

ab

n

0

i 1

2 若f(x)在[a,b]上连续，则 f(x)dx存在，特别

a

b

b anb a

f(x)dx limf(a k) an ni 1n

11n1

f(x)dx lim f(k)

0n nni 1

b

3 f(x)dx f(u)du f(t)dt

a

a

a

bbb

4 性质：

(1) f(x)dx f(x)dx

(2) [k1f(x) k2g(x)]dx k1 f(x)dx k2 g(x)dx (3) f(x)dx f(x)dx f(x)dx

a

a

c

ba

a

b

b

bb

ab

aa

cb

(4) 不等式性质

(5) 估值定理 m f(x) M, x [a,b]， 则 m(b a) f(x)dx M(b a)

ab

(6) 积分中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则

f(x)dx f( )(b a), [a,b]，

a

b

注： 可在开区间（a,b）内取到.

一般地，f(x)在[a,b]上连续, g(x)在[a,b]上可积且不变号，则 f(x)g(x)dx f( ) g(x)dx, [a,b]

a

a

b

b

5 定积分的计算

(1) 牛顿—莱布尼兹公式 (2) 换元积分法 (3) 分部积分法

b

a

f(x)dx F(x)ba F(b) F(a)

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6 反常积分

（1）无界区域上的反常积分：设F(x)是f(x)在(a, ) 上的一个原函数，且

F(a 0),F( ) limF(A)均存在，则称

A

a

f(x)dx收敛，且定义

a

f(x)dx=F( ) F(a 0)；如果 F(a 0),F( ) limF(A)中有一个不存

A

在，则称

a

f(x)dx发散。

b c

f(x)dx的收敛，发散，及其值。

如果存在c使得 f(x)dx和 f(x)dx都收敛，则称 f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx。

同样可定义

c

f(x)dx收敛，且定义

c

c

（2）无界函数的反常积分：设f(x)在(a,b] 上连续但无界，而F(x)是f(x)在

(a,b] 上的一个原函数，且F(a 0)存在，则称 f(x)dx收敛，且定义

ab

b

a

f(x)dx=F(b) F(a 0)；如果 F(a 0)不存在，则称 如果f(x)在[a,b) 上连续但无界，同样可定义

a

f(x)dx发散。

b

f(x)dx的收敛，发散，及其

b

c

值。

设存在c使得f(x)在[a,c) 和(c,b]上均连续但无界，如果 f(x)dx和 f(x)dx

c

a

都收敛，则称 f(x)dx收敛，且定义

a

b

b

a

f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx。

a

c

cb

（3）几个重要的反常积分 （i）若a 1,则

a1 p

dx,收敛；p 1 p 1axp

发散;p 1

（ii）若a 1,则

ln1 pa

dx,收敛；p 1 p 1axlnpx 发散;p 1 （iii）若c [a,b],则

b

a

1

dx, 0<k<1时收敛；当k 1发散。 k

(x c)

2

（iv） e xdx ；

e xdx

2

2

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三 、重要公式与结论

1、 若f(x)在[a,b]上可积（特别它在其上只有有限个第一类间断点），则若f(x)在[a,b]上连续，则 (x) f(t)dt在[a,b] (x) f(t)dt在[a,b]上连续；

a

a

x

x

可微，它是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

（变限积分求导）若f(x)连续，而a(x),b(x)可微，则

b(x)a(x)

f(t)dt可微，且

(

2、

a a

b(x)

a(x)

a

f(t)dt) f[b(x)]b (x) f[a(x)]a (x)

f( x) f(x) a0,

f(x)dx [f(x) f( x)]dx=

02f(x)dx,f( x) f(x) 0

a Ta

3、 设f(x+T)=f(x),则 特别，

a a

f(x)dx f(x)dx

T

sinxdx sinxdx，

a

a

cosxdx cosxdx.

四、 典型题型与例题

题型一、定积分的概念及性质

[解题提示] 1）利用定积分定义求数列极限；2）积分 f(x)dx为常数.

ab

例1、设M

1sinx434

cosxdx,N (sinx cosx)dx, 2 1 11 x1

P (x2sin3x cos4x)dx，则

1

1

（A） M<N<P （B） N<M<P （C） P<M<N （D） P<N<M

例2、（10123）

(I) 比较 |lnt|[ln(1 t)]ndt与 tn|lnt|dt (n =1, 2, ) 的大小, 说明理由;

1

1

(II) 记u n= |lnt|[ln(1 t)]ndt (n =1, 2, ) , 求极限 limun .

n

1

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例3、 设f(x) 4x f(x)dx求f(x)

1

例4、 设 f(x)

10

1213

xf(x)dx, 则 f(x)dx= 2 001 x

[令 f(x)dx A,再积分]

例5、设 f(x) x x f(x)dx 2 f(x)dx, 则0

2

2

1

[等式两边分别从0到1,从0到2积分]

例6、设f(x)在x=0处连续，lim

x 0

f(x)

1, 且x

x0

f(x) ax x

2

1

f(x)dx x lim

x 0

f(x t)dtln(1 x)

2

,

则a= ,f(x)=________.

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1 2 n

例7、(022) lim[ cos cos cos]n nnnn

例8、 证明下列不等式

估计积分值常用以下方法：f(x)，g(x)连续

1. 若f(x)在[a,b]上的最大值为M最小值为m, f(x)不恒为常数,

则 m(b a) f(x)dx M(b a)

ab

80

4

2

2

32

2. 若f(x)在[a,b]上的最大值为M，最小值为m，g(x) 0, f(x)g(x) Mg(x),mg(x)(x [a,b])， 则m g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx

a

a

a

b

b

b

3．若f(x) g(x),f(x)不恒等于g(x)，则 f(x)dx g(x)dx

a

a

bb

题型二、涉及变限积分的问题

[解题提示] 对变限积分所定义的函数F(x) f(t)dt，可讨论其函数特性、

ax

极限、导数和积分等，特别F(x)是f(x)的一个原函数. 若f(x)连续，g(x),h(x)可导，则

(

h(x)

g(x)

f(t)dt)' f[h(x)]h'(x) f[g(x)]g'(x)

需注意的是，如果被积函数中有变量x，一定要把其分离出来，或变到积分限 …… 此处隐藏：5786字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……