数学：2.3离散型随机变量的均值与方差 课件一(新人教A版选修2-3)

2.3.2 离散型随机变量的方差

探究 要从两名同学中挑出一 名, 代表班级 参加射击比赛 .根据以往的成绩纪录 ,第一名 同学击中目标靶的环数 X1 ~ B 10,0.8 ,第二 名击中目标靶的环数X 2 Y 4 , 其中 Y ~ B 5,0.8 , 请问应该派哪名同学参 赛? 根据已学的知识,可以从平均中靶环数来比较 两名同学射击水平的高低, 即通过比较X1和X 2 的均值来确定两名同学射击水平的高低.利用 二项分布均值的计算公式, 有 EX1 10 0.8,EX2 EY 4 5 0.8 4 8. 这意味着两名同学的平均射击水平没有差别.

思考 除平均中靶环数外 , 还有其他刻画两名 同学各自射击特点的指 标吗? P 1 图2.3 1 1 2 0 .5 分别是X1和X 2 0.4 0 .3 的分布列图 , 可 0 .2 0 .1 以发现, 第二名 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X P 同学的射击成 2 .5 绩更 集中于 8 0 0 .4 .3 环,即第二名同 0 0 .2 学的射击成绩 0.1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 更稳定.1

图2.3 1

2

思考 怎样定量刻画随机变量 的稳定性? 我们知道, 样本方差反映了所有样 本数据与样本 平均值的偏离程度 , 用它可以刻画样本数据 的稳 定性.一个自然的想法是 ,能否用一个与样本方差 类似 的量来刻画随机变量的 稳定性呢? 设离散型随机变量 X的分布列为X P

x1

x2

xi

xn

p12

p2

pi

pn

则 xi EX 描述了xi (i 1 ,2, ,n)相对于均值EX 的偏离程度.而DX xi EX pi2 i 1 n

为这些偏离程度的加权平均 , 刻画了随机 变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们 称DX 为随机变量X的方差 (var iance) , 其算 术平方根 DX的随机变量X的 标准差( sta ndard deviation),记作σX .

σ为希腊字母 ,国际音标为 ' sigma .随机变量的方差和标准 差都反映了随机 变量取值偏离于均值的 平均程度.方差或 标准差越小 , 则随机变量偏离于均值 的平 均程度越小 .

思考 随机变量的方差与样本 的方差有何联系 与区别? 随机变量的方差是常数 , 样本方差是随机变量 .对 于简单随机样本 ,随机样本的容量的增加 , 样本方 差越来越接近于总体方 差.现在, 可以用两名同学射击成 绩的方差来刻画他 们各自的特点 ,为选派选手提供依据 .由前面的计 算结果及方差的定义 ,得 10 2 i DX1 i 8 C10 0.8i 0.210 i 1.6,

DX2 i 4 8 Ci5 0.8i 0.25 i 0.8 .2

i 0 5

因此第一名同学的射击 成绩稳定性较差 , 第二同学 的射击成绩稳定性较好 , 稳定于8环左右.

i 0

思考 如果 其他班级 参赛选手的射击成绩 都在9环左右, 本班应该派哪一名选手 参赛 ? 如果其他班级参赛选手 的成绩在7环左右,又 应该派哪一

名选手参赛 ?

探究 你能证明下列结论吗 ? D aX b a2DX 若X服从两点分布 ,则DX p 1 p . 若 X ~ B n,p ,则 DX np 1 p .

例 4 随机抛掷一枚质地均匀 的骰子,求向上一面的点 数X的均值、方差和标准差 . 解 抛掷骰子所得点数X的分布列为X P 1

2

3

4

5

6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 1 1 1 1 1 EX 1 2 3 4 5 6 3.5; 6 6 6 6 6 6 1 1 1 2 2 DX 1 3.5 2 3.5 3 3.5 6 6 6 1 1 1 2 2 2 4 3.5 5 3.5 6 3.5 2.92; 6 6 6 σX DX 1.71.

例5 有甲乙两个单位都愿意 聘用你 ,而你能获得如下 信息 : 甲单位不同职位月工资 X1 / 元 1200 1400 1600 1800获得相应职位的概率 P1 获得相应职位的概率 P20.4 0.3 0.2 0.1

乙单位不同职位月工资 X2 / 元 1000 1400 1800 22000.4 0.3 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情 况, 你愿意选择哪家单位 ? 解 根据月工资的分布列,利用计算器可算得EX1 1200 0.4 1400 0.3 1600 0.2 1800 0.1 1400,

DX1 1200 1400 0.4 1400 1400 0.3 2 2

1600 1400

2

0.2 1800 1400 0.1 40000;2

EX2 1000 0.4 1400 0.3 1800 0.2 2200 0.1 1400, 2 2 DX2 1000 1400 0.4 1400 1400 0.3

1800 1400

2

0.2 2200 1400 0.1 112000;2

因为EX1 EX2 ,DX1 DX2 , 所以两家单位的工资均值 相等, 但甲单位不同职位的工资相对集中 ,乙单位不同 职位的工资相对分散.这样 , 如果你希望不同职位的工 资差距小一些, 就选择甲单位; 如果你希望不同职位的 工资差距大一些, 就选择乙单位.

作业 ：P69习题2.3A组4和B组