3矩阵特征值与特征向量的计算

矩阵特征值及特征向量

第3章 矩阵特征值与特征向量的计算

一些工程技术问题需要用数值方法求得矩阵的全部或部分特征值及相关的特征向量。

3.1 特征值的估计

较粗估计 (A) ||A||

欲将复平面上的特征值一个个用圆盘围起来。

3.1.1 盖氏图

定义3.1-1 设A = [aij]n n，称由不等式z aii 记为Gi，i = 1，2，…，n。

a

j 1

j i

n

ij

所确定的复区域为A的第i个盖氏图，

Gi {z:z aii aij

j 1j i

n

n

定理3.1-1 若 为A的特征值，则

G

i 1

i

证明：设Ax = x (x 0)，若k使得xk maxxi x

1 i n

因为

a

j 1

n

kj

xj xk

( akk)xk

a

j k

n

kj

xj

akk

j kn

n

akjxjxk

akj

j 1j k

n

xjxk

akj

j 1j k

n

Gk

G

i 1

i

0.10.2 1 0.530.1 例1 估计方阵A 10.3 1

0.2 0.3 0.1

解：

0.3 0.2 特征值的范围 0.5 4

矩阵特征值及特征向量

G1 = {z：|z – 1| 0.6}；G2 = {z：|z – 3| 0.8}； G3 = {z：|z + 1| 1.8}；G4 = {z：|z + 4| 0.6}。

注：定理称A的n个特征值全落在n个盖氏圆上，但未说明每个圆盘内都有一个特征值。

3.1.2 盖氏圆的连通部分

称相交盖氏圆之并构成的连通部分为连通部分。

孤立的盖氏圆本身也为一个连通部分。

定理3.1-2 若由A的k个盖氏圆组成的连通部分，含且仅含A的k个特征值。 证明: 令D = diag(a11，a12，…，ann)，M = A – D，记

a11 0a12

a a21022

A( ) D M

ann an1an2 a1n

a2n

(0 1)

0

则显然有A(1) = A，A(0) = D，易知A( )的特征多项式的系数是 的多项式，从而A( )的特征

值 1( )， 2( )，…， n( )为 的连续函数。 A( )的盖氏圆为：Gi( ) {z:z aii

| a

j 1j i

n

ij

| |aij|} Gi,(0 1)

j 1j i

n

因为A(0) = D的n个特征值a11，a12，…，ann，恰为A的盖氏圆圆心，当 由0增大到1时， i( )画出一条以 i(0) = aii为始点， i(1) = i为终点的连续曲线，且始终不会越过Gi；

不失一般性，设A开头的k个圆盘是连通的，其并集为S，它与后n – k个圆盘严格分离，显然，A( )的前k个盖氏圆盘与后n – k个圆盘严格分离。

当 = 0时，A(0) = D的前k个特征值刚好落在前k个圆盘G1，…，Gk中，而另n – k个特征值则在区域S之外， 从0变到1时，

。连续曲 G( )与 G( )始终分离（严格）

i

i

i 1

i k 1

k

n

线始终在S中，所以S中有且仅有A的k个特征值。

注：1) 每个孤立圆中恰有一个特征值。

2) 例1中G2，G4为仅由一个盖氏圆构成的连通部分，故它们各有一个特征值，而G1，G3构成的连通部分应含有两个特征值。

3) 因为例1中A为实方阵，所以若 为A的特征值，则 也是A的特征值，所以G2，G4

矩阵特征值及特征向量

中各有一个实特征值。

3.1.3 盖氏圆与相似变换

由于特征值是相似不变量，所以代数上常用相似变换将矩阵化简以得到特征向量，这里也可用相似变换将盖氏圆的半径变小，以得到更好的估计。

原理：取对角阵作相似变换阵：P = diag(b1，b2，…，bn)其中bi > 0，i = 1，2，…，n 则B PAP diag(

1

111

,, ,)Adiag(b1,b2, ,bn)与A有相同特征值. b1b2bn

而B的第i个盖氏圆为：{z:z aii

aij

j 1

j i

n

bjbi

，

1 b1 B

1b2

a11a12 aa22 21

1 an1an2bn

a1n b1

a2n b2

ann bn

a11

b1 a 21b

2 ab1 n1b

n

a12

b2

b1

a22 ban22

bn

bnb1b

a24n

b2

a1n

ann

适当选取b1，b2，…，bn就有可能使B的某些盖氏圆的半径比A的相应盖氏圆的半径小。 1) 欲缩小Gi，可取bi最大。

2) 欲缩小除Gi外的圆，可取bi最小。

0.90.010.12

例2，估计A 0.010.80.13 的特征值范围。

0.010.020.4

解：A的三个盖氏圆分别为：

G1 = {z：| z – 0.9| 0.13}；G2 = {z：| z – 0.8| 0.14}； G3 = {z：| z – 0.4| 0.03} 3 G3，较好。

为了更好地估计另外两个特征值可取b3最小：

1 0.90.010.012 1

1取b1 = b2 = 1，b3 = 0.1即P ，则B PAP 0.010.80.013 0.100.20.1 0.4

所以G1' = {z：| z – 0.9| 0.022}；G2' = {z：| z – 0.8| 0.023}；G3' = {z：| z – 0.4| 0.3}

矩阵特征值及特征向量

三个盖氏圆分离，故有 1 G1'， 2 G2'， 3 G3。

3.2 幂法与反幂法

幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量的一种迭代法。

3.2.1 幂法

设An有n个线性相关的特征向量v1，v2，…，vn，对应的特征值 1， 2，…， n，满足 | 1| > | 2| … | n| 1. 基本思想

因为{v1，v2，…，vn}为C的一组基，所以任给x 0，x所以有

n

(0)

(0)

(3.2.1)

aivi —— 线性表示

i 1

n

Ax

k(0)

A( aivi) aiAkvi

k

i 1

i 1

nn

k

ai ikvk 1[a1v1 (i)kaivi]i 1i 2 1

n

n

(3.2-2)

若a1 0，则因

i

知，当k充分大时 A(k)x(0) 1ka1v1 = cv1 属 1的特征向量 1

max( 1a1v1) 1max(a1v1)max(Akx(0)) 1

max(Ak 1x(0))max( 1k 1a1v1) 1k 1max(a1v1)

k

k

另一方面，记max(x) = xi，其中|xi| = ||x|| ，则当k充分大时，

若a1 = 0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在v1方向上的分量不为0，迭代下去可求得 1及对应特征向量的近似值。 2. 规范化

在实际计算中，若| 1| > 1则| 1ka1| ，若| 1| < 1则| 1ka1| 0都将停机。 须采用“规范化”的方法

(k)x(k) y

max(x(k))， k = 0，1，2，… (3.2-4) (k 1) Ay(k) x

(0)

定理3.2-1 任给初始向量x

v1 (k)

limy max(v1) 0有， k

limmax(x(k)) 1 k

特征向量

(3.2-5)

特征值

证明：

矩阵特征值及特征向量

y

(k)

x(k)Ay(k 1)

max(x(k))max(Ay(k 1))

x(k 1)

A

Akx(0)max(x(k 1))

(k 1)k(0)

xmax(Ax)

max(A)

max(x(k 1))

ik

)vi](3.2 2)

i 21

n

k

max 1[a1v1 ai(i)kvi]

1i 2

1[a1v1 ai(

k

n

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