2015中考精英数学(人教)总复习课件 第15讲 二次函数的应用

第15讲 二次函数的应用

数 学

利用二次函数解决实际问题

步骤：1.分析问题，建立模型. 2.设自变量，求函数的解析式. 3.确定自变量的取值范围. 4.根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小 值(在自变量取值范围内).

实物抛物线【例1】如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线 由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成，已知河 底ED是水平的，ED=16 m,AE=8 m,抛物线的顶点C到ED的 距离是11 m,以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建 立平面直角坐标系. (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底ED的距离h(单位：m) 随时间t(单位：h)的变化满足函数关系h=- 1 128 (t-19)2+

8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5 m时，需禁止船只 通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通 行？

解：(1)依题意有顶点 C 的坐标为(0,11),点 B 的坐标为(8,8),设抛物线解 3 8=64a+c, a =- , 2 64 析式为 y=ax +c,有 解得 ∴抛物线解析式为 y=- 11 = c , c=11, 3 2 1 1 x +11 (2)令- (t-19)2+8=11-5, 解得 t1=35, t2=3.因为 a=- < 64 128 128 0,所以当 3≤ t≤ 35 时，水面到顶点 C 的距离不大于 5 米，需禁止船只通行， 禁止船只通行时间为 35-3=32(时)

利用二次函数解决实物抛物线形问题，一般是根据实际 问题的特点建立直角坐标系，设出合适的解析式，把实 际问题中已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解， 最后再把求出的结果转化为实际问题的答案.

【例2】(2014·青岛)某企业设计了一款工艺品，每件的成本 是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查， 销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每 降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成 本. (1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关 系式； (2) 求出销售单价为多少元时 ， 每天的销售利润最大？最大 利润是多少？

二次函数在销售利润中的应用

(3) 如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000元， 且每天的总成本不 超过7000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本=每 件的成本×每天的销售量)

解：(1)y=(x-50)[50+5(100-x)]=(x-50)(-5x+550)=-5x2+800x -27500,∴y=-5x2+800x-27500 (2)y=-5x2+800x-27500=- 5(x -80)2 +4500, ∵a =-5 <0, ∴抛物线开口向下 ， ∵50≤x≤100, 对称轴是直线x=80,∴当x=80时，y最大值=4500 (3)当y=4000时，-5(x-80)2+4500=4000,解得x1=70,x2=90,∴ 当70≤x≤90时，每天的

销售利润不低于4000元.由每天的总成本不超 过7000元，得50(-5x+550)≤7000,解得x≥82,∴82≤x≤90,即销售单 价应该控制在82元至90元之间

读懂题目 ，理解题意―→ 找出合适的等量关系 ―→列函数关系式 ―→ 求出函数 的最大值.注意：结合图象由利润确定销售单价的范围.

二次函数在几何图形中的应用 【例3】(2014·黄冈)如图，在四边形OABC中，AB∥OC,BC⊥x轴于 C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从O点出发，沿x轴正方向以2个单 位/秒的速度运动.过P作PQ⊥OA于Q.设P点运动的时间为t秒(0<t<2) ,△OPQ与四边形OABC重叠的面积为S. (1)求经过O,A,B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标； (2)用含t的代数式表示P,Q两点的坐标； (3)将△OPQ绕P点逆时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q 落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；

(4)求S与t的函数解析式；

1 2 4 4 2 解：(1)设 y=ax +bx+c,代入点 A,B,O 的坐标得 y= x - x,∴顶点 M(2,- ) 3 3 3 (2)∵ A(1,-1),∴∠COA=45°,∴△OPQ 为等腰 Rt△,过 Q 作 QD⊥ x 轴于 D,∵OP 1 1 =2t,∴OD= OP=t,DQ= OP=t,∴P(2t,0),Q(t,-t) (3)当△OPQ 绕点 P 逆时针 2 2 1 2 4 1 4 2 旋转 90°后， 点 O 为(2t, -2t), 点 Q(3t, -t ) . ①若点 O 在 y= x - x 上， 则 · (2t) - × 2t 3 3 3 3 1 1 1 1 =-2t,∴2t2 -t=0,∴t1 =0,t2 = ,∵0<t<2,∴t= ,∴t= 时，点 O(1,-1)在 y= 2 2 2 3 4 1 2 4 1 2 2 4 2 x - x 上；②若点 Q 在 y= x - x 上，则 × (3t) - × (3t)=-t,∴t -t=0,∴t1 =0,t2 3 3 3 3 3 1 2 4 =1,又 0<t<2,∴t=1,∴t=1 时，点 Q(3,-1)在 y= x - x 上 (4)如图，分三种情况 3 3 1 3 讨论：①当 0<t≤ 1 时，S=S△OPQ = × 2t×t=t2 ;②当 1<t≤ 时，S=S△OPQ -S△AEQ =t2 2 2 2 -(t-1) =2t-1;

2t-1(1<t≤ 3) 11 2 +8t- .综上可知，S= 2 11 3 - 2t + 8t - ( <t<2) 2 22

3 1 ③当 <t<2 时， S=S△O PQ-S△AE′Q -S△CFP=t2 -(t-1)2 - (2t-3)2 =-2t2 2 2 t2 (0<t≤ 1)

解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达 式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式 求最值，但要注意x的取值范围.

一次函数、反比例函数与二次函数的选用 【例4】(2013·乌鲁木齐)某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销 售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表：

价格x(元/个) 销售量y(万个)

… …

30 5

40 4

50 3

60 2

… …

同时，销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元. (1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数、反比 例

函数或二次函数的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式； (2)求出该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个) 的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？

(3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的 取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？ 解：(1)经描点、连线可知，表中的y与x之间的对应关系为一次函数关 系，可求y与x的函数解析式为y=-0.1x+8 (2)由题意，得z=(x- 20)y-40=(x-20)(-0.1x+8)-40=-0.1x2+10x-200=-0.1(x-50)2 +50,∴当x=50时，z最大值=50,即z与x的函数解析式为z=-0.1x2+ 10x-200,销售价格定为50元时净得利润最大，最大值是50万元 (3) 当z=40时，-0.1(x-50)2+50=40,解得x=40或60.又∵该公司要求 净得利润不能低于40万元，∴40≤x≤60.又∵还需考虑销售量尽可能大， 即y尽可能大，x尽可能小，∴x=40.即销售价格x(元/个)的取值范围是 40≤x≤60,若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个

(1)建立平面直角坐标系 ，通过描点，连线等方法观察函数图象的大致形状 ―→ 函数类型；(2)一般式―→顶点式即可；(3)观察图象―→销售的价格.

真题热身1.(2014· 河北) 某种正方形合金板材的成本 y(元) 与它的面积 成正比， 设边长为 x 厘米.当 x=3 时， y= 18,那么当成本为 72 元时，边长为( A) A. 6 厘米 B.12 厘米 C. 24 厘米 D. 36 厘米 2.(2013· 天门)2013 年 5 月 26 日， 中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团 体赛冠军， 成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路 线可以看作是一条抛物线(如图),若不考虑外力因素 ，羽毛球行进 2 2 8 10 高度 y( 米)与水平距离 x(米) 之间满足关系 y=- x + x+ ,则 9 9 9 羽毛球飞出的水平距离为____米.

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3.(2014· 绍兴)如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12 m 时，桥洞顶部离水 面 4 m,已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为 x 轴，建立平面直角坐 1 …… 此处隐藏：2324字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……