解三角形问题常见类型及解法

解三角形问题常见类型及解法

解三角形问题 常见类型及解法

解三角形问题常见类型及解法

已知三角形的六个元素(三边和三角)中的三个元素(至少有一边)求其他元素的问题叫作解三角形。若三角形 为直角三角形较简单，我们通常解决较多的是斜三角形问题，

正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的 关系或边的关系。

解三角形问题常见类型及解法

对于解斜三角形的实际应用问题要理解题意，分清已

知与所求，根据题意画出示意图，抽象或构造出三角形，明确先用哪个公式定理，先求出哪些量，确定解三角形的 方法，在演算过程中要算法简练、算式工整、计算正确， 还要注意近似计算的要求。对于实际应用问题中的有关名 词、术语要理解清楚，如坡度、俯角、仰角、视角、方向 角、方位角等。

解三角形问题常见类型及解法

一、求解斜三角形中的基本元素

【理论阐释】 已知两边一角(或二角一边或三边),求其他三个元

素的问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题。

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典例导悟4 6 6 , cos B ,AC 边上的中线 BD= 5 ,求 sinA 的值. 3 6 1 2 6 【解析】设 E 为 BC 的中点，连接 DE,则 DE//AB,且 DE AB , 2 3

在Δ ABC 中，已知 AB

设 BE=x,在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BD2 BE2 ED2 2BE EDcos BED ,5 x2 8 2 6 6 7 2 x ,解得 x 1 , x (舍去) 3 3 6 3

王新敞奎屯

新疆

cos 故 BC=2,从而 AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC B

28 2 21 ,即 AC 3 3

王新敞奎屯

新疆

2 21 2 30 70 3 ,从而有 sin A 又 sin B ,故 。 6 14 sin A 30 6

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二、判断三角形的形状

【理论阐释】 给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状，

通常有两种典型方法：(1)统一化为角，再判断(如解法1);(2)统一化为边，再判断(如解法2)。

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典例导悟在 ABC 中，已知 2 sin A cos B sin C ,那么 ABC 一定是( ) (A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)等腰直角三角形 (D)正三角形

【解析】方法 1:由 2 sin A cos B sin C =sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB,即 sinAcosB-cosAsinB=0, 得 sin(A-B)=0,得 A=B.故选(B). sin C c 方法 2:由题意，得 cosB= , 2sin A 2a

a 2 c2 b2 再由余弦定理，得 cosB= . 2ac a 2 c2 b2 c 2 2 ∴ = ,即 a =b ,得 a=b,故选(B). 2ac 2a

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三、解决与面积有关的问题

【理论阐释】

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题。

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典例导悟在 △ABC 中，三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 c 2 , C (1)若 △ABC 的面积等于 3 ,求 a,b ; (2)若 sin C sin( B A) 2sin 2 A ,求 △ABC 的面积.【解析】

(1)由余弦定理及已知条件得， a 2 b2 ab 4 , 又因为 △ABC 的面积等于 3 ,所以 a 2 b 2 ab 4 , 联立方程组 ab 41 ab sin C 3 ,得 ab 4 . 2

. 3

a 2 . 解得 b 2

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(2)由题意得 sin( B A) sin( B A) 4sin A cos A , 即 sin B cos A 2sin A cos A , 当 cos A 0 时， A 4 3 2 3 , B ,a ,b , 3 3 2 6 2 3 a 3 . 解得 b 4 3 3

当 cos A 0 时，得 sin B 2sin A ,由正弦定理得 b 2a , a 2 b 2 ab 4, 联立方程组 b 2a,

所以 △ ABC 的面积 S

1 2 3 ab sin C 。 2 3

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四、三角形中的求值问题

【理论阐释】 已知三角形三边外的元素如中线长、面积、周长等，

灵活逆用公式求得结果即可。

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典例导悟

在锐角 △ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 sin A 2 2 , 3B C A sin 2 的值； 2 2

(1)求 tan 2

(2)若 a 2 , S△ ABC 2 ,求 b 的值。

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【解析】 (1)因为锐角△ABC 中，A+B+C= , sin A 1 所以 cosA= ,则 3B+C B+C A 2 +sin 2 A tan 2 +sin 2 = 2 2 cos 2 B+C 2 2 1-cos(B+C) 1 1+cos A 1 7 = + ( -cos A)= 1 + = 1+cos(B+C) 2 1-cosA 3 3 sin 2

2 2 , 3

1 1 2 2 (2)因为S ABC= 2,又S ABC= bcsin A= bc ,则 bc=3。 2 2 3

1 3 将 a=2,cosA= ,c= 代入余弦定理： a 2=b2+c2-2bccos A 中， 3 b

得 b4-6b2+9=0 解得 b= 3 。

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五、解三角形的实际应用

[理论阐释] 有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：

(1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语； (2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，合理 运用正弦定理和余弦定理求解。

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典例导悟

(一)测量问题 如图,测量河对岸的塔高 AB 时, 可以选与塔底 B 在同一水平面 内的两个测点 C 与 D.现测得 ∠BCD=α ,∠BDC=β ,CD=s,并在 点 C 处测得塔顶 A 的仰角为θ ,求塔高 AB.

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【解析】在△BCD 中,∠CBD=π-α-β, 由正弦定理得: 所以 BC=

BC CD , = sin∠BDC sin∠CBD

CD sin∠BDC s β sin . = sin∠CBD sin(α+β )

在 Rt△ABC 中， AB=BC〃tan∠ACB =

s θsinβ tan . sin(α+β )