第一章数值计算方法

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在数学发展中，理论和计算是紧密联系的。现代计算机

的出现为大规模的数值计算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法变得十分迫切和必要。数值计算方 法正是在大量的数值计算实践和理论分析工作的基础上发展

起来的，它不仅仅是一些数值方法的简单积累，而且揭示了包含在多种多样的数值方法之间的相同的结构和统一的原理 。数值算法是进行科学计算必不可缺少的起码常识；更为重 要的是通过对它们的讨论，能够使人们掌握设计数值算法的 基本方法和一般原理，为在计算机上解决科学计算问题打下 基础。因此，计算方法已经成为工科大学生必修课程。

1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务，主动适应“公式多”的特点； 2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐步深入； 3. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本

线索，对最基本的算法要非常熟悉； 4. 认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是为用于实际计算，必须真会算。

科学素质：拓宽对21世纪科学的了解； 加深对数学思想的理解； 培养用数学思考世界的习惯 数学能力：数学知识的运用能力； 对专业中问题建立数学求解方法与 实际计算能力 应用问题中数学创造性能力 计算知识：常用算法的数学理论； 在“误差、存贮、速度”之下的实 际计算方法； 对结果的数值分析方法

记好课堂笔记 保证课堂纪律

几点 要求

按时上课，不迟到早退

按时完成作业

数值分析讲述的基本内容 如何把数学模型归结为数值问题 如何制定快速的算法

如何估计一个给定算法的精度 分析误差在计算过程中的积累和传播

如何构造精度更高的算法 如何使算法较少的占用存储量 如何分析算法的优缺点

本课程的基本要求 掌握数值方法的基本原理 掌握常用的科学与工程计算的基本方法 能用所学方法在计算机上算出正确结果

第一章计算方法与误差

本章内容§1 §2 §3 §4 §5 引言 误差的来源及分类 误差的度量 误差的传播 减少运算误差的原则

小结

第一章计算方法与误差要求掌握的内容 概念 包括有效数字、绝对误差、绝对误差限、 相对误差、相对误差限等 误差 截断误差、舍入误差的详细内容，误差种 类等 分析运算误差的方法和减少运算误差的若 干原则

1.1 引言数值分析又称计算方法, 它是研究各种数 学问题的数值解法及其理论的一门学科。 数值分析的任务实际问题数值结果

数学模型上机计

算

数值计算方法程序设计

根据数学模型提出求解的数值计算方法 直到编出程序上机算出结果，这一过程边是 数值分析研究的对象

数值方法解题的一般过程1. 对于要解决的问题建立数学模型 2. 研究用于求解该数学问题近似解的算法 和过程 3. 按照2进行计算，得到计算结果

建立数 学模型

转化为 数值公式

进行计算

第一章计算方法与误差数值计算以及计算机模拟(包括当前流 行的虚拟现实的方法),已经是在工程技术 研究和经济、社会科学中广泛应用的方法， 带来巨大的经济效益 天气预报与亿次计算机 计算作为 波音777的无纸设计与有限元 工程技术 CT、核磁共振 研究方法 计算流体力学与爆炸工程 能源问题与大型计算

第一章计算方法与误差 计算方法课程主要讨论如何构造求数学模 型近似解的算法，讨论算法的数学原理、 误差和复杂性，配合程序设计进行计算试 验并分析试验结果。 与纯数学的理论方法不同，用数值计算方 法所求出的结果一般不是解的精确值或者 准确的解析表达式，而是所求真解的某些 近似值或近似曲线。

例如方程 x2=2sinx,在区间(1,2)内有唯一根,但找不出求根的解析式, 只能用数值计算方法求其近 似解。有些数学问题虽有理论上的准确的公式解, 但 不一定实用, 例如行列式解法的Cramer法则原则上可 用来求解线性方程组,用这种方法解一个n元方程组,

要算n+1个阶行列式的值,总共需要n!(n-1)(n+1)次乘法,当n=20时,其乘除法运算次数约需1021次方,即 使用每秒千亿次的计算机也得需要上百年,而用高斯 (Guass)消去法约需2660次乘除法运算,并且愈大, 相差就愈大。可见研究和选择好的算法是非常重要

的。

算法(数值算法):是指有步骤地完成解数值问 题的过程。 数值算法的特点 目的性，条件和结论、输入和输出数据均要有明确的规定与要求。

确定性，精确地给出每一步的操作(不一定都是运算)定义, 不容许有歧义。 可执行性，算法中的每个操作都是可执行的 有穷性，在有限步内能够结束解题过程

计算机上的算法，按面向求解问题的不同， 分为数值算法和非数值算法。

第一章计算方法与误差1.2 误差的来源及分类 早在中学我们就接触过误差的 概念，如在做热力学实验中，从温 度计上读出的温度是23.4度，就不 是一个精确的值，而是含有误差的 近似值。事实上，误差在我们的日 常生活中无处不在，无处不有。如 量体裁衣，量与裁的结果都不是精 确无误的，都含有误差。