《数字信号处理——原理、实现及应用》第三章_离散傅里叶变换(DF

《数字信号处理——原理、实现及应用》第三章_离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)

离散傅里叶变换(DFT) 第三章 离散傅里叶变换(DFT) 及其快速算法(FFT) 及其快速算法(FFT)

《数字信号处理——原理、实现及应用》第三章_离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)

3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义 3.2 DFT的主要性质 3.3 频域采样 3.4 DFT的快速算法——快速傅里叶变换(FFT) 3.5 DFT(FFT)应用举例

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3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义时间域t:连续

模拟域 FT、LT

频率域 Ω、s:连续

时间域n:离散

数字域 FT、ZT 数字域 DFT

频率域ω、z:连续

频率域k:离散 ：返回

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离散傅立叶变换(DFT)实现了信号首次在频域 表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程 学习的一大重点。 本节主要介绍 3.1.1 DFT定义 3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系 3.1.3 DFT的矩阵表示返回

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DFT定义 3.1.1 DFT定义设序列x(n)长度为M,定义 定义x(n)的N点DFT为 定义X (k ) = DFT[ x(n)]N =

∑ x(n)en =0

N 1

j

2π kn N

,

k = 0, 1, , N 1

式中，N称为离散傅里叶变换区间长度，要求N ≥ M。为 2π j 书写简单，令 WN = e N ,因此通常将N点DFT表示为 令X (k ) = DFT[ x(n)]N =

∑n =0

N 1

k x(n)WN n ,

k = 0, 1, , N 1长度为 N的离 散序列

定义X(k)的N点离散傅里叶逆变换(IDFT)为 定义1 x(n) = IDFT[ X (k )]N = N

∑k =0

N 1

X (k )WN k n , n = 0, 1, , N 1

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例3.1: x(n) = R8 (n),分别计算x(n)的8点、16点DFT。 解: x(n)的8点DFT为 :X (k ) =

∑ R (n)W8 n=0

7

kn 8

=

∑en=0

7

j

2π kn 8

k =0 8, = 0, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 j 2π 8k 16

x(n)的16点DFT为

k 1 W168 1 e k X (k ) = W16 n = = k 2π j k 1 W16 n=0 1 e 16 π 7π sin k j k 2 = e 16 , k = 0,1, 2, ,15 π sin k 16

∑

7

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X (k ) 是 X (e jω ) 在频率区间上的等间隔采样

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DFT与ZT、FT、DFS的关系 3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系DFT有明确的物理意义，我们可以通过比较序列的DFT、FT、 ZT,并将DFT与周期序列的DFS联系起来，得到DFT的物理意 义。 DFT和FT、ZT之间的关系 DFT和FT、ZT之间的关系 假设序列的长度为M,N≥M 将N点DFT和FT、ZT的定义重写如下X ( z ) = ZT[ x(n)] = X (e ) = FT[ x(n)] = X (k ) = DFT[ x(n)]N =jω M 1

∑n=0 n =0

x ( n) z n x(n)e jω n k = 0,1, , N 1返回

∑

M 1

∑n=0

M 1 kn x(n)WN ,

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比较前面三式，得到

X (k ) = X ( z )X (k ) = X (e jω )

z =e

j

2π k N

,k=0, 1, 2, …, N-1 ,k=0, 1, 2, …, N-1

2π ω= k N

结论： 结论： (1)序列的N点DFT是序列傅里叶变换在频率区间[0,2π] 上的N点等间隔采样，采样间隔为2π /N。 (2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆

上的N点等间隔 采样，频率采样间隔为2π /N。返回

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序列 序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的 点等 的 点 变换在单位圆上的N点等 是 的 变换在单位圆上的 间隔采样； 间隔采样； X (e jω ) 在区间 [0, 2π ] 上的 X(k)为x(n)的傅立叶变换 上的N 为 的傅立叶变换 点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。 的物理意义。 点等间隔采样。这就是 的物理意义

j Im[ Z]2 3 4 5 6 X(ejω) 12π N

X(k)

k=0 Re[ Z] 7 (N-1)

0 0

π

o

2πN 1

ωk

DFT与z变换 与 变换

DFT与DTFT变换 与 变换

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变量

周期

ω 、f

2π

分辨率 2π N

s 、f s

fs N

k

N

返回

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DFT和DFS之间的关系： DFT和DFS之间的关系： 之间的关系周期延拓 取主值

有限长序列 有限长序列 周期序列 xN

周期序列

主值区序列

x(n)(n ) =

n = 0,1, 2, M 1

m = ∞

∑

∞

x ( n + m N ) = x((n)) N

0 ≤ n0 ≤ N 1 n = mN + n0 ((n)) N = n0

xN (n) = xN (n) RN (n)主值区间序列N ≥ M , xN ( n) = x ( n)返回

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x8 (n)

x4 (n)

返回

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周期序列DFS: X ( k ) = D F S [ x N ( n )] = =M 1

∑

N 1 n=0

x N ( n )W

kn N

∑

x ( n )W

n=0

kn N

∞ < k < ∞N 1 n=0

有限长序列的DFT:

X ( k ) = DFT [ x ( n )]N = ∑ x ( n )W kn =M 1

∑n=0

x ( n )W kn

0 ≤ k ≤ N 1

对比二者发现： X (k ) 是 X (k ) 的主值区序列，条件N≥M X (k ) =m = ∞

∑ X (k + mN )

∞

X (k ) = X (k ) RN (k )返回

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xN (n)

N

n0

DFS

X (k )

N

2N

N 2

0x (n )0

N 2

N

k

nDFT

N

X (k )0N 1

k返回

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DFT与DFS之间的关系: DFT与DFS之间的关系: 之间的关系DFT : DFS : x(n) x(n) …… 此处隐藏：1976字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……