南京工业大学 线代试卷

南京工业大学 线代试卷

南京工业大学 线 性 代 数 试题 （B）卷

试题标准答案

2006 --2007学年第一学期 使用班级

一、填空题(每题3分，共15分) (1)

1

A (2) 22n 2 (3) 25 (4) 1, 1(n-1重) (5) 1 2

二、选择题(每题3分,共15分)

(1) C (2) B (3) D (4) B (5) C 三、（12分）第2,3 ,n列加到第1列：

1

D (x1 x2 xn m)

11

x2 x2

xnxn

……………4分

x2 m

xn m

1x2

0 m

=(x1 x2 xn m)

00 xn

xn

………………… 8分

m

=( 1)n 1mn 1(x1 x2 xn m) ………………………… 12分

四、（12分）由关系式A AX 4E 2X 得

2

AX 2X 4E A2

即

(A 2E)X (2E A)(2E A)……………………4分 (A 2E)X (A 2E)(A 2E)

00 3

0 可知A 2E 0，即A 2E可逆。………………..8分 由A 11

0 2 4

上式两边左乘(A 2E)得

1

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500

X (A 2E) 1 30 。…………………………………12分

022

五、(12分)解：以向量 1, 2, 3, 4为列构成矩阵A并进行初等行变换：

352 1

2 101 A 3572 1 3 5 2 2 1 4 3 1 0 0 0 0

352

121

000 r1 3r2

000 000

r2 2r1r3 3r1r4 r1r5 2r1

52 13

05105

0 4 8 4

00 00

0 7 14 7

1

r25

r 4r r5 7r2

1 0 0 0 0 0 1 1

121 000 。。。。。。。。。。。。。。8分

000 000

所以R( 1, 2, 3, 4) 2， 1, 2是 1, 2, 3, 4的一个极大无关组，且

。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 3 1 2 2， 4 1 2。

六、（14分）解：（1）该二次型的矩阵为

210

A 120 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分

003

（2）首先求出矩阵A的特征值。由于矩阵A的特征方程为

2

A E

10

10

2 0 (3 )2(1 ) 0 03

故矩阵A的特征值分别为1，3（二重）。

110 1

1

当 1时，A E 110 ，得单位特征向量p1 1 ；

2 002

0

110 1 0 1

1p 当 3时，A E 1 10 ，得单位正交特征向量p2 ， 0 32 0 1 00 0

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取Q p1

p2

p3 ，做变换X QY则是变换正交，且将二次型化为标准型

222

f(y1,y2,y3) y1 。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 3y2 3y3

（3）因为二次型矩阵的特征值都是正的，所以此二次型为正定二次型。――――14分。 七、（14分）解：对方程组的增广矩阵(A|b)进行初等行变换：

110 11

221 01

r3 3r1 (A|b) 0 1 2 2a

3211 1 1

0 0 0

11001200

110 11

221 r3 r2 01

0 1 2 2a r r 42 0 1 2 2 1

10

21

B 0a 1

00

由此可知当a 1时，方程组无解，当a 1时，方程组有无穷多解。-------------9分 当a 1时，继续对B进行初等行变换，化为行最简型得 1 0B

0 0

110012001200

0 1

r1 r2 0 0

1

0 0 0

0 1 1 1

1221

0000

0000

则原方程组与方程组

x1 1 x3 x4

x 1 2x 2x34 2

1

1

同解。则容易求得非齐次方程组的一个特解为 0 。再求解齐次方程组

0 0

x1 x3 x4

x2 2x3 2x4

得其一个基础解系为

1 1 2 2

1 ， 2 0 1

0 1

则原方程组的通解为X 0 k1 1 k2 2.(k1,k2 R)―――――――――14分。

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八、证明： 设 是方程组AX 0的任一解，则A 0，显然

ATA AT(A ) AT0 0，则 是方程组ATAX 0的解。即AX 0的解都是

ATAX 0的解。 ―――――――――――――――――――――2分

设 是方程组ATAX 0的任一解，即

ATA 0 （1）

（1） 两边与 做内积得

( ,ATA ) (0, ) 0

即

TATA (A )T(A ) 0

T

故有 A 0，即 是方程组AX 0的解。从而任何AAX 0的解都是AX 0的解。

T

综上可知方程组AX 0与方程组AAX 0同解。 证毕。――――――6分