数值代数上机习题：非对称特征值的计算方法

数值代数上机习题二：非对称特征值的计算方法

一．题目要求.................................................................................................................................................1

1.求多项式方程的模最大的根..............................................................................................................12.求实矩阵的全部特征值及特征向量..................................................................................................2二．算法原理.................................................................................................................................................2

1.求多项式方程的模最大的根..............................................................................................................2

1）利用幂法求矩阵模最大的特征值...........................................................................................22）利用幂法求多项式方程模最大的根.......................................................................................33）幂法中初始向量的选取问题...................................................................................................42.求实矩阵的全部特征值及特征向量..................................................................................................5

1）QR方法....................................................................................................................................52）实Schur标准型及上Hessenberg化.......................................................................................63）隐式QR算法...........................................................................................................................7

三．算法实现.................................................................................................................................................9四．计算结果.................................................................................................................................................9五．结果分析...............................................................................................................................................14参考文献.......................................................................................................................................................14附录：matlab代码.......................................................................................................................................14

一．题目要求

1.求多项式方程的模最大的根

(1)用你熟悉的计算机语言编制利用幂法求多项式方程

f(x)=xn+an 1xn 1+...+a1x+a0=0

的模最大根的通用子程序

(2)利用你所编制的子程序求下列各高次方程的模最大的根:

(i)x+x 5x+3=0(ii)x 3x 1=0(iii)x

8

33

2

+101x7+208.01x6+10891.01x5+9802.08x4

+79108.9x3 99902x2+790x 1000=0

2.求实矩阵的全部特征值及特征向量

(1)用你熟悉的计算机语言编制利用隐式QR

序;

(2)利用你所编制的子程序计算方程

x41+x3+1=0

的全部根(3)设

9.1 4.2A=

3.2 6.1

3.05.31.74.9

2.64.0 4.71.6 9.4x

3.56.2

试求当x=0.9,1.0和1.1时的全部特征值，并观察特征值的变化情况。

二．算法原理

1.求多项式方程的模最大的根

1）利用幂法求矩阵模最大的特征值算法1.1幂法设A∈C

n×n

，给定初始向量u

(0)

∈Cn，作如下迭代

v(k)=Au(k 1)mk=max(v(k))u(k)=

1(k)

vmk

(k=1,2,...)

这里的max(v)表示向量v中模最大的分量。定理1.1幂法的收敛性

设矩阵A∈C

n×n

是非亏损的，且A的特征值满足

|λ1|>|λ2|≥|λ3|≥...≥|λn|

如果给定的初始向量u

(0)

∈Cn在λ1的特征子空间上的投影不为0，则由算法1.1产生的向量序列

{u(k)}收敛到λ1的一个特征向量，{mk}收敛到λ1，即矩阵A模最大的特征值。

可由算法1.1设计子程序eig_power，计算给定矩阵的模最大特征值:

λ1=eig_power(A,u(0))

具体实现代码见附录子程序eig_power.m

2）利用幂法求多项式方程模最大的根设

f(x)=xn+an 1xn 1+...+a1x+a0=0

根据Laplace展开得

1an 1 1xf(x)= 1

an 2x

a0

10 1x+an 1= 1

1

an 2x

0 a0 1

x

a0 1

x

x+an 1an 2

1x=

令

x

A=

an 11

an 2 a0

0

1

则

f(x)=det(xI A)

于是可以针对矩阵A利用幂法求得其模最大的一个特征值，即为多项式模最大的根。

于是可得如下算法

算法1.2利用幂法求多项式模最大的根

设f(x)=x+an 1x

nn 1

+...+a1x+a0，

ai∈C,(i=0,1,...,n 1)

令

A=

an 11

an 2 a0

0

10

(0)

选取初始向量u∈Cn利用幂法计算

λ1=eig_power(A,u(0))

则

λ1即为多项式f(x)的模最大的根

设v=(an 1,an 2,...,a1,a0)是f(x)的系数向量，可以由算法1.2设计子程序计算f(x)的模最大的根:

rmax=root_power(v,u(0))

3）幂法中初始向量的选取问题

(0)n

u∈C上述1）、2）已经给出了一个可行的算法，但注意到定理1.1中要求给定的初始向量在

λ1的特征子空间上的投影不为0才能够保证幂法收敛到模最大的特征值，若初始向量选取不当很有

可能得不到正确的结果。因此实际计算中必须考虑初始向量的选取问题。

注意到给定的初始向量u

(0)

∈Cn在λ1的特征子空间上的投影不为0即为u(0)∈Cn不与λ1的特

征子空间正交。因此我们只需选取初始向量，使其不与λ1的特征子空间正交即可。参考文献[3]，有如下定理。

定理1.2幂法初始向量的选取

n阶矩阵的行向量的转置向量中至少有一个不与它的第i阶特征向量xi正交(i=1,2,…,n)。因此分别用矩阵的行向量的转置向量作为幂法的初始向量,总可以保证其中至少有一个不与

λ1的特征子空间正交，从而使幂法所得的序列分别收敛到模最大的特征值和其特征向量。

证明：用反证法。设矩阵A的行向量为α1,α2,...,αn，特征值为λ1,λ2,...,λn，对应的特征向量为

x1,x2,...,xn，若α1,α2,...,αn均与xi正交，则Axi=(α1xi,α2xi,...,αnxi)T=0，与xi是A的特征向

量矛盾，因此假设不成立，即α1,α2,...,αn中至少有一个与xi不正交，i取1则当取遍矩阵的行向量的转置向量作为幂法的初始向量时，幂法所得的序 …… 此处隐藏：11080字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……