北京市石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷高三数学(理)

k1,2)

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石景山区2014—2015学年第一学期期末考试试卷

高三数学（理）

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项．

0，1,2 ，

A1．已知集合A 1，

B ( )

1,2 C. 1,2 D. 1,1,2 A. 2 B.

2．下列函数中，在(0, )上单调递减的是（ ）

32

A.f(x) lnx B.f(x) (x 1) C.f(x) x D.f(x)

1 x 1

3．点

与圆

x 1 3cos ,

的位置关系是（ ）

y 3sin

A.点在圆内 B.点在圆外 C.点在圆上 D.与 的值有关 4. 某程序框图如右图所示，该程序运行 输出的值是（ ）

A.4 B.5 C.6 D.7

5．以q为公比的等比数列 an 中，a1 0，则“a1 a3”是“q 1”的（ ）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

x

,

yk

6．如果实数

x y 3 0,

满足不等式组 x 2y 3 0,目标函数z kx y的最大值为6，最小值为

x 1.

0，则实数的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的 是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中， 最长的棱的长度为（ ）

D. 3

8. 函数f(x)的定义域为 1,1 ，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为 2,2 ，图象如图2所示，方程f(g(x)) 0有m个实数根，方程g(f(x)) 0有n个实数根，则

m n ( )

A.6 B. 8 C. 10 D. 12

图2

Ed a{a

}1 60AE 0BD52BAD1n

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

Z2

9．若复数Z1 1 i, Z2 3 i,则Z1

10.

11．如图，在边长为2的菱形ABCD中

，

为

为等差数列，

，公差

，

、

、

成等比数列，则a2015

CD中点，则

．

a的值为 ． 12.若抛物线y

ax2

13. A , B两地街道如图所示，某人要从A地前往B地， 则路程最短的走法有 种（用数字作答）．

14. 设A为非空实数集，若 x,y A，都有x y,x y,xy A，则称A为封闭集．

①集合A 2, 1,0,1,2 为封闭集； ②集合A n|n 2k,k Z 为封闭集； ③若集合A1,A2为封闭集，则A1 A2为封闭集；

④若A为封闭集，则一定有0 A. 其中正确结论的序号是____________.

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）

如图所示，在四边形ABCD中， AB

DA，CE 上一点，DE 1，EA 2， BEC

（Ⅰ）求sin∠CED的值； （Ⅱ）求BE的长．

16．（本小题共13分）

某次数学考试共有8道选择题，每道选择题有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的.某考生有4道题已选对正确答案，还有两道题能准确排除每题中的2个错误选项，其余两道题完全不会只好随机猜答.

（Ⅰ）求该考生8道题全答对的概率；

（Ⅱ）若评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或选错得0分”，求该考生

ADC

C

2

；E为AD边3

3

.

D E

A

B

所得分数的分布列.

17．（本小题共14分）

如图,在四面体A BCD中,AD 平面BCD,BC CD,AD 2,BD 22.M是

AD的中点,P是BM的中点.

（Ⅰ）求证：平面ABC 平面ADC；

（Ⅱ）若点Q在线段AC上，且满足AQ 3QC,

B

P

Q

A

M

D

求证：PQ//平面BCD；

（Ⅲ）若 BDC 60 ,求二面角C BM D的大小.

18.（本小题共13分）

已知函数f(x) lnx ax ax(a R且a 0). （Ⅰ）若x=1是函数y=f(x)的极值点，求a的值；

2

2

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.

19.（本小题共14分）

x2y2

1). 已知椭圆2 2 1(a b 0)的离心率为，且过点B(0，

2ab

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）直线l:y k(x 2)交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围.

20．（本小题共13分）

，x1，x2， ，xn}，其中0 x1 x2 xn，n 2，定义向量集对于数集X { 1

Y | (s,t),s X,t X}，若对任意a1 Y，存在a2 Y，使得a1 a2 0，则称X

具有性质P．

（Ⅰ）判断{ 1,1,2}是否具有性质P；

（Ⅱ）若x 2，且{ 1,1,2,x}具有性质P，求x的值； （Ⅲ）若X具有性质P，求证：1 X，且当xn 1时，x1 1．

石景山区2014—2015学年第一学期期末考试

高三数学（理科）参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 【12题只答一种情况得3分】

三、解答题共6小题，共80分． 15．（本小题共13分）

（Ⅰ）设 CED .在 CED中，由余弦定理，得

CE2 CD2 DE2 2CD DE cos CDE 2分

得CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)． 4分 在

CED中，由正弦定理，得sin CED

6分 （0）（Ⅱ）由题设知 ，所以cos

3

而 AEB

8分 2

，所以

3

cos AEB cos（

2 2 2

）=coscos sinsin 333

11 11分 = cos

22272714

在Rt EAB中，BE

2

.

13分

cos AEB

16．（本小题共13分）

（Ⅰ）该考生8道题全答对为事件A，依题意有 P(A)

11111

. 3分 224464

（Ⅱ）该考生所得分数为X，则X的所有可能取值为20,25,30,35,40. 4分

11339

P(X 20) ， 6分

2244641132333112

P(X 25) C1() (1 ) () C() (1 ) () ， 8分 22

2242448123211131121211

P(X 30) （） （）+C2() (1 ) C1 () （） () ()=2

2422442432

10分

1112331112

P(X 35) C1 12分 2() (1 ) () C2() (1 ) ()=

2242448 1

P(X 40)

64

X分布列为：

13分

17．（本小题共14分）

（Ⅰ） AD 面BCD,BC 面BCD AD BC 2分

BC CD且AD CD D BC 面ACD

BC 面ABC 面ABC 面ACD 4分

（Ⅱ）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点， 所以PO//MD且PO

1

MD； 2

取CD的四等分点H，使DH=3CH， 且AQ =3QC, 所以, PO//QH且PO QH， 所以，四边形OPQH为平行四边形， 所以PQ//OH，且OH BCD,

所以PQ//面BDC. 9分

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