【高三总复习】10-5 古典概型与几何概型(人教B版) 含解析

10-5古典概型与几何概型

基础巩固强化

1.4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )

1A.3 2C.3 [答案] C

[解析] 取出两张卡片的基本事件构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}共6个基本事件．

其中数字之和为奇数包含(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)共4个基本事件，

42

∴所求概率为P63.

ππ

2．(2011·潍坊二检)若在区间[－22上随机取一个数x，则cosx1

的值介于0到2( )

1A.3 1C.2 [答案] A

ππ1πππ

[解析] 当－2≤x≤2时，由0≤cosx≤2，得－2≤x≤－3或3ππ661π

≤x≤2P＝π＝32B.π 2D.3 1B.2 3D.4

aπ

3．已知函数f(x)＝sin3x，a等于抛掷一颗骰子得到的点数，则y＝f(x)在[0,4]上至少有5个零点的概率是( )

1A.3 2C.3 [答案] C

[解析] 抛掷一颗骰子共有6种情况．当a＝1,2时，y＝f(x)在[0,4]上的零点少于5个；当a＝3,4,5,6时，y＝f(x)在[0,4]上的零点至少有42

5个，故P＝63C.

4．(2011·天津六校联考)某学校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二女生的概率为0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则三年级应抽取的学生人数为( )

C．16 [答案] C

x

[解析] 20000.19.解得x＝380. ∴y＋z＝2000－(373＋380＋377＋370)＝500. 64n

设三年级应抽取n人，则2000500.

D．12

1B.2 5D.6

∴n＝16.故选C.

5．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为( )

1A.3 1C.6 [答案] C

[解析] 投掷两颗骰子，共向上的点数m、n，用(m，n)记录基本事件，则基本事件构成集合Ω＝{(m，n)|1≤m≤6,1≤n≤6，m，n∈N}，∵(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，它为实数的等价条件是m2＝n2，又m、n均为正整数，∴m＝n.故所求事件所含基本事件有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，Ω中共有36个基本事件，∴61

P＝366.故选C.

6．(文)已知正方体ABCD－A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD－A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是( )

πA.4 πC.6 [答案] C

[解析] 设正方体棱长为a，则正方体的体积为a3，内切球的体13

6aπ4 a 313

3π 2 ＝6a，故点M在球O内的概率为a6.

(理)(2011·北京学普教育中心联考版)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )

1

B.4 1D.12

πB.8 πD.12

πA.12 πC.6 [答案] B

π

B．1－12 π

D．1－6143

[解析] 以点O为圆心，半径为1的半球的体积为V＝23R2π

＝3，正方体的体积为23＝8，由几何概型知：点P到点O的距离大于1的概率为

23π

P(A)＝18＝1－12B.

7．(2011·皖南八校联考)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，π

设向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈ 0，2 的概

率是________．

7

[答案] 12

m－nπ

[解析] ∵cosθ＝，θ∈ 0，2 ， m＋n61

∴m≥n，满足条件m＝n的概率为366， m>n的概率与m<n的概率相等， 1 51

∴m>n的概率为2× 1－6 ＝12，

157

∴满足m≥n的概率为P＝612128．(文)(2012·浙江文，12)从边长为1的正方形的中心和顶点这五2

个点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为2的概率是

________．

2

[答案] 5[解析]

由五个点中随机取两点共有10种取法．由图可知两点间的距离242为2的是中心和四个顶点组成的4条线段，故概率为P＝105，概率问题一定要弄明白概率模型．

x2

(理)在区间[1,5]和[2,4]分别各取一个数，记为m和n，则方程m＋y2

n＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________．

1

[答案] 2x2y2

[解析] ∵方程mn＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.

由题意知，在矩形ABCD内任取一点P(m，n)，求P点落在阴影部分的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，

1∴p＝29．(文)(2012·河北保定市模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数k，则直线y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1有公共点的概率为________．

3[答案] 3

|2k|

[解析] 1，

k＋133－ －33333

3≤k≤3故所求概率为P＝31－ －1

(理)若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，2b

则方程x＝2a－x________．

1

[答案] 2[解析]

2b

方程x＝2a－xx2－22ax＋2b＝0， ∵方程有两个不等实根， ∴Δ＝8a－8b>0，∴a>b， 1

如图可知，所求概率p＝2.

10．(2012·天津文，15)某地区有小学21所，中学14所，大学7所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．

(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；

(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， (ⅰ)列出所有可能的抽取结果； (ⅱ)求抽取的2所学校均为小学的概率． n[分析] (1)根据抽样比例N＝

61

＝7进行抽取．(2)由(1)

21＋14＋7

知抽取的6所学校中有小学3所，用列举法求出基本事件总数n和2m

所均为小学的抽法数m，用古典概型公式P＝n

[解析] (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目分别为

2114

6×＝3,6×2,6－3－2＝1. 21＋14＋721＋14＋7

(2)(ⅰ)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5，大学记为A6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

(ⅱ)从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．

31所以P(B)＝155[点评] 本小题主要考查分层抽样方法、用列举法求基本事件数、古典概型及其概率计算公式，同时考查学生数据处理能力，运用概率知识解决实际问题的能力.

能力拓展提升

11.(2012·安徽六校教育研究会联考)连续投掷两次骰子得到的点数分别为m、n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角记为α，则απ

∈(0，4)的概率为( )

5A.18 1C.2 [答案] B

[解析] 连续投掷两次骰子的点数m、n，构成的向量a＝(m，n)，πa·bm2共有36个，a与b的夹角α∈(0∴cosα＝∈(24)，|a|·|b|m＋n

5

B.12 7D.12

2m

1)，即2<1，

m＋n

∴n<m，满足要求的向量a有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)共15个，

155

∴所求概率P＝36＝12.

12．(文)(2012·辽宁文，11)在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC、CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为( )