《椭圆的几何性质》课件ppt人教A版(选修2-1)2012.12.8

2 .1 . 2 椭圆的简单几何性质

上面从椭圆的定义 几何特征 出发 建 立了 椭圆的标准方程.下面再利用椭圆的标准 方 程研究它的几何性质包括椭圆的形状、大 , 小、对称性和位置等 . 我们用椭圆的标准方程

x2 y 2 1 2 1 a b 0 2 a b 来研究椭圆的几何性质 . 通过对曲线的范围、对 称性及特殊点的讨论可 , 以从整体上把握曲线的 形状、大小和位置 .所以, 本 章对几种圆锥曲线都是 分范围、对称性 、顶点 及 其特性等来研究它们的 几何性质.

y

O

x

x2 y2 观察 观察椭圆 2 2 1 a b 0 a b 的形状, 你能从图上看出它的范 围吗? 它具有怎样的对称性 椭圆上 哪 些 点 ? 比较特殊?

1 范围

yB2

a 观察图2.1 7, 容易看出椭圆上 b x 点的横坐标的范围是 a x A1 F1 c O F2 A 2 a, 纵坐标的范围是 b y b .下 B1 面, 我们利用方程 代数方法 研 图 2.1 7 究它的范围 . y2 x2 由方程 1 可知, 2 1 2 0, 所以, 椭圆上点的横坐标 b a x2 y2 都适合不等式 2 1,即 a x a. 同理有 2 1,即 a b

b y b . 这说明椭圆位于直线 a 和 y b 所 x

围成的矩形框里图2.1 7 .

2 对称性观察椭圆的形状 可以发现椭圆既是轴对 , 称图形 又是 , 中心对称图形 . x2 y2 在椭圆 2 2 1 a b 0 中以 y代y, 方程并不改 a b 变, 这说明当点P x, y 在椭圆上时 它关于x轴的对称 , 点P1 x, y 也在椭圆上 所以椭圆关于 轴对称; 同理, , x 以 x 代 x, 方程也不改变, 所以椭圆关于y 轴对称; 以 x代x,以 y代 y, 方程也不变 所以椭圆关于原点 , 中心对称.综上, 椭圆关于 x 轴、y 轴对称, 这时, 坐标轴是椭圆的对 称 轴 , 原点是 椭圆的 对 称 中心 , 椭 圆的对称 中 心 叫做 椭圆的中心.

3 顶点研究曲线上某些特殊点 的位置, 可以确定曲 线的位置要确定曲线在坐标系中 . 的位置, 常 常需要求出曲线与 轴、y 轴的交点坐标. x探究 你能由椭圆的方 x y 程 2 2 1 a b 0 a b A 得出椭圆与x 轴、y 轴的 交点坐标吗?2 2

yB2

1

O

A2

x

B1

图2.1 8

在椭圆的标准方程里令x , 0, 得y b, 这说明 B1 0, b , 交点.同理, 令y 0, 得x a, B2 0, b 是椭圆与y轴的两个A1

yB2

O

A2

x

B1

圆与x轴的两个交点图2.1 8 .因为x轴、y轴是椭圆的对称轴所以椭圆与它的对 ,

这说明A1 a,0 , A2 a,0 是椭

图2.1 8

顶点 称轴有四个交点这四个交点叫做椭圆的 ,线段A1 A2 , B1 B2 分别叫做 椭圆的长轴和短轴他们 ,的长分别等于 a和2b, a和b分别叫做椭圆的长半轴 2 长和短半轴长.

4 离心率思考 观察不同的椭

圆 图 2.1 9 , 我们发现, 椭圆的扁平程度不一 那么, 用什么量可以刻 , 画椭圆的扁平程度呢 ?

图2.1 9

y

x2 y2 如图2.1 10, 椭圆 2 2 1 a b a b 0 的长半轴的长为 , a 半焦距为c.保持长半轴长 不 a 变, 改变椭圆的半焦距 , 可以 c 发现, c 越接近 a, 椭圆越扁平 . 这样, 利用c 和 a 这两个量, 可 以刻画椭圆的扁平程度 .

O

x

图2.2 10c = 1.20 a = 1.81 c = 0.66 a

c = 1.50 a = 1.81 c = 0.83 a

操作打开的几何画板观察椭圆的扁平程度 , c 与 的关系 . a

椭圆的离 心率可以形 象地理解为 , 在椭圆的长 轴长不变的 前提下, 两个 焦点离开中 心的程度. 这样规定会 给今后研究 圆锥曲线的 统一性等性 质带来方便 .

c 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 a c 称为椭圆的离心率, 用e表示, 即e . a 因为a c 0, 所以0 e 1.e 越接近于 , 1则c越接近于a, 从面b a 2 c 2 越小,因 此椭圆越扁; 反之, e越接近于0, c越接近 于 0, 从而b 越接近于a, 这时椭圆就越接 近于圆.

当且仅当a b时, c 0, 这时两个焦点重 合,图形变为圆它的方程为x 2 y 2 a 2 . ,

b c 探究 1 . 或 的大小能刻画椭圆 a b 的扁平程度吗 为什么? ? 2 . 你能运用三角函数的知 识解释, c c 为什么e 越大, 椭圆越扁? e a a 越小, 椭圆越圆吗?

例4 求椭圆16 x 2 25 y 2 400 的长轴和短 轴的长、离心率、焦点 和顶点的坐标.

x2 y 2 解 把已知方程化成标准方程 2 2 1, 5 4 于是a 5, b 4, c 52 4 2 3.因此, 椭圆的长轴和短轴的长分别是2a 10 c 3 和 2b 8, 离心率 e , 两个焦点坐标分 a 5 别是 F1 3,0 和 F2 3,0 ,四个顶点坐标分别 是A1 5,0 , A2 5,0 , B1 0, 4 和 B2 0,4 .

y

B 例 5 如图2.1 11, 一种 反射镜面 E 电影放映灯泡的反射镜 O F 是旋转椭圆面(椭圆绕 A F x D 其对称轴旋转一周形成 透明窗 C 的曲面)的一部分.过对 称轴的截口BAC 是椭圆的一部分 灯丝位于椭圆 , 一个焦点 F1上,片门位于另一个焦点F2上.由椭圆 一个焦点 F1 发出的光线 经过旋转椭圆面反射后 , 集中到另一个焦点F2 . 已知 BC F1 F2 , | F1 B | 2.8 cm, | F1 F2 | 4.5cm, , 求截口BAC 所在的椭圆方程 .1 2

y

操作打开的几何画板演 , 示椭圆镜面工作原理 .

B EO

反射镜面

解 建立图2.1 11 所示 的直角坐标系, 设所求椭 x y 圆方程为 2 2 1. a b 在Rt BF1 F2 中,2 2

A

F1

F2

x

D C

透明窗

图2.1 11

| F2 B | | F1 B |2 | F1 F2 |2 2.8 2 4.5 2 .

由椭圆的性质知, | F1 B | | F2 B | 2a, 所以

1 1 a ( | F1 B | | F2 B | ) 2.8 2.8 2 4.5 2 4.1; 2 2

y

B EO

反射镜面

A

F1

F2

x

D C

透明窗

图2.1

11

b a c 4.1 2.25 3.4 .2 2 2 2

x2 y2 所以 , 所求的椭圆方程为 2 1. 2 4.1 3.4

例6 点 M x, y 与定点 F 4, 0 的距离和它到直 25 线l:x 的距离的比 4 4 是常数 , 求点M的轨迹. 5操作打开的几何画板观赏 , 点 M 的轨迹形成过程 .

y

MO

d

H

F l

x

图2.1 12

解 设d是点M到直线 25 l : x 的距离, 根据题意, 点M的轨迹就是集合 4