06第一章 第6节 极限存在准则及两个重要极限

第六节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则

二、两个重要极限 三、小结及作业

一、极限存在准则1.夹逼准则准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及z n 满足下列条件:

(1) yn xn znn

( n 1,2,3 )

( 2) lim yn a , lim zn a ,那末数列 x n 的极限存在, 且lim x n a .n

n

证 yn a,

zn a ,

0, N1 0, N 2 0, 使得2

当 n N 1时恒有 yn a , 当 n N 2时恒有 z n a ,取 N max{ N 1 , N 2 }, 即 a y n a ,上两式同时成立,

a z n a ,

当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,

即 xn a 成立,

lim xn a.n

上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限3

准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x 0 , ) (或 x M )时,有

0

(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) x x g ( x ) A, x x h( x ) A, lim lim( x )0

( x )

0

那末 lim f ( x ) 存在, 且等于 A.x x0 ( x )

准则1 和准则 2称为夹逼准则.

注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn ,

并且 yn与 zn的极限是容易求的 .4

例1 求 lim(n

1 n 12

1 n 22

1 n n2

).

n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1

n 又 lim 2 lim n n n n

1 1 1 n

1,

1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n

limn

n n 12

limn

1

1,

由夹逼定理得

( 记住结果：1) lim n 1 n n

( 2) limn a 1 (a 0)n

例2 lim 1 2 3 4n n n n

n

解 ： 4 n 1 2n 3n 4n 4n 4

而 lim4 4 4n n

lim 1 2 3 4 4n n n n n 6

2.单调有界准则

如果数列 n满足条件 xx1 x2 xn xn 1 , 单调增加x1 x2 xn xn 1 , 单调减少准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.

单调数列

几何解释:

x1 x2 x3x n x n 1

A

M

x7

例3 证 明 数 列x n 3 3 3

( n重 根

式)的 极 限 存 在 . 证 显然 xn 1 xn , xn 是有界的;

xn 是单调递增的 ;

又 x1 3 3, 假定 xk 3, x k 1 3 x k 3 3 3, lim x n 存在.n

2 xn 1 3 xn , x n 1 3 x n ,

2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n n

1 13 1 13 (舍去) 解得 A , A 2 2 1 13 lim x n . n 2

A 2 3 A,

1 a 例4 设xn 1 ( xn ) (n 1,2,3, ) 2 xn x1 0, a 0, 求 lim x n .n

1 a 解 ： n 1 ( xn ) x 2 xn

a xn xn

a

1 a 1 a x n 1 2 (1 2 ) 2 (1 a ) xn xn

1 A a,9

即 xn 1 xn设 lim x nn

lim x n

存在，n

1 a A, 由 A ( A ), 2 A limxn a .n

二、两个重要极限(1)

CBo x

sin x lim 1 x 0 x

D

A

设单位圆 O, 圆心角 AOB x , (0 x ) 2

作单位圆的切线 ，得 ACO . 扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD ,于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,

△AOB 的面积<圆扇形AOB的面积< △AOC的面积

1 1 1 即 sin x x tan x, 2 2 2

sin x x tan x,x 1 1 sin x cos x

sin x 即 cos x 1, x

lim cos x 1,x 0

sin x lim 1. x 0 x11

sin f ( x ) lim 说 明 ：) 更 一 般 形 式 ：x ) 0 f ( x ) 1, ( 1 f(

si nx 如 l im 3 1 x 0 x sin x lim 0. (2)不要混淆： x x tan x sin x 1 例3 lim 1 1 1 lim x 0 x 0 x cos x x1 cos x . 例4 求 lim 2 x 0 x 2 x 2 x 2 sin sin 1 2 lim 2 解 原式 lim x 0 2 x 0 x 2 x2 ( ) 2

3

x sin 1 2 ) 2 1 12 lim( 2 x 0 x 2 2

1 . 2

arcsin x . 例5 lim x 0 x解: 令t

arcsinx, 则x sin t , t lim 1 原式 lim 1 t 0 sin t t 0 sin tt

(2)

1 x lim (1 ) e x x

n 1 n( n 1) 1 1 2 n( n 1) ( n n 1) 1n n! n 1! n 2! n1 1 1 1 2 n 1 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ). 2! n n! n n n14

1 n 先证 lim (1 ) 存在： n n 1 n 设 x n (1 ) n

1 1 ) 类似地, x n 1 1 1 (1 2! n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 ) (1 ) n! n 1 n 2 n 1 1 1 2 n (1 )(1 ) (1 ). (n 1)! n 1 n 2 n 1显然 xn 1 xn ,

xn 是单调递增的 ;

lim x n 存在. 记为 lim(1 1 ) n e (e 2.71828 ) n n n15

1 1 1 1 xn 1 1 1 1 n 1 2! n! 2 2 1 xn 是有界的; 3 n 1 3, 2

1 x 可证： (1 ) e. lim x x

注： 1) 等 价 形 式l: (1 x ) e ( im x 0(2) 一 般 形 式 ： (1 f ( x )) limf ( x ) 0

1 x

1 f ( x)

e

3 3 2x ( 例6 lim(1 ) lim 1 ) x x x x

x 6 3

3 lim 1 ) ] e 6 [( x x16

x 3 6