椭圆的简单几何性质1

复习思考

椭圆的定义、标准方程是什么？

平面上到两个定点的距离的和(2a)等于定长 (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。

标 准 方 程

x y 2 1 (a b 0) 2 a b 2 2 y x 2 1 (a b 0) 2 a b

2

2.平面解析几何研究的主要问题是什么？答：1)根据已知条件，求出表示平 面曲线的方程。 2)通过方程，研究平面曲线的 性质。

一、椭圆的范围由

x y 2 1 2 a b

2

2

x a

2 2

y 1和 b yo

2

2

1

即

x a和 y bx

说明：椭圆位于直线X=±a

和y=±b所围成的矩形之中。

二、椭圆的对称性 2 2 x y 在 2 2 1(a b 0)之中， a b把(X)换成(-X),方程不变,说明椭圆关于( Y )轴对称； 把(Y)换成(-Y),方程不变,说明椭圆关于( X )轴对称； 把(X)换成(-X), (Y)换成(-Y),方程还是不变,说明椭圆 y 关于(原点 )对称；

所以，坐标轴是 椭圆的对称轴，原点 是椭圆的对称中心。

o

x

中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

三、椭圆的顶点令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点(令 y=0,得 x=?, 说明椭圆与 x轴的交点( *顶点：椭圆与它的对称 轴的四个交点，叫做椭圆的 顶点。 *长轴、短轴： 线段 A1A2、B1B2分别叫做椭圆 的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半

x y 在 2 2 1(a b 0)中， a b

2

2

0, ±b ), )。 ±a, 0

y B1(0,b)A1 o

A2(a,0) xB2(0,-b)

轴长和短半轴长。

四、椭圆的离心率[1] 离心率的取值范围：

c 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：e a 叫做椭圆的离心率。y o x

因为 a > c > 0,所以0<e <1 [2] 离心率对椭圆形状的影响：

(1)、e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小(?), 椭圆就越扁；(为什么？) (2)、e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大(?), 椭圆就越圆；(为什么？ ) (3)、特例：e =0,则 a = b,则 c=0,两个焦点重合， 椭圆方程变为圆。(为什么？ )

x y 2 1(a b 0) [1]椭圆标准方程 2 a b所表示的椭圆的范围是什么？

2

2

[2]上述方程表示的椭圆有几条对称轴？几个对称中心？[3]椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？ [4]对称轴与长轴、短轴是什么关系？ [5]2a 和 2b是什么量？ a和 b是什么量？ [6]关于离心率讲了几点？

回

顾

小结一：基本元素{1}基本量：a、b、c、e、(共四个量) {2}基本点：顶点、焦点、中心(共七个点) {3}基本线：对称轴(共两条线) 请考虑：基本量之间、 基本点之间、基本线之 间以及它们相互之间的 关系(位置、数量之间 的关系) y B1(0,b)

A1

o B2(0,-b)

A2 x

方 程

x y 2 1 2 a b

2

2

y B2

y aB1

2

2

A2 Y_

x b

2

2

1

图 形

F1

F2

A1

0

A2

x

F1 O F2

B2

_

X

B1范 围 对 称 性

A1

a x a, b y b

b x b, a y a

关于x轴，y轴，原点对称。A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)

顶 A (-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0, b) 点 1 离 心 率

c e (0 e 1) a

求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心 例1 率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出其图形。 解：把已知方程化成标准方程

a 5, b 4, c 椭圆的长轴长是: 2a=10

x y 2 1 2 5 4 25 16 3椭圆的短轴长是: 2b=8 焦点坐标是:

2

2

c 3 离心率: e 0.6 a 5四个顶点坐标是:

F ( 3,0), F2 (3,0) 1

A1 ( 5,0), A2 (5,0), B1 (0, 4), B2 (0,4)

由椭圆标准方程求基本元素说明：例1是一种常见的题型，在以后的有关圆锥曲 线的问题中，经常要用到这种题型，说它是一种题型 不如说它是一种要经常用到的“基本计算”题组{1} 教科书 102页，练习1、2 、3

例1

求椭圆 16 x2 + 25y2 =400的长轴和短轴的长、离心 率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出其图形。4 y 25 x 2 把已知方程变形为： 5

在0≤ x≤5的范围内算出几个点的坐标(x,y): X 0 1 2 3 4 5 Y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0先描点画出椭圆的一部分， 再利用椭圆的对称性，画 出整个椭圆。O Y

椭圆的简单画法： 矩形

X

椭圆四个顶点

连线成图

例2

求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点P(-3,0)、Q(0,-2);

(2)长轴的长等于20,离心率等于3/5 。 解：(1)由椭圆的几何性质可知，点P、Q分 别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得： a=3,b=2, 又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为：x2 y2 1 9 4 c 3 2a 20, e , (2)、由已知， a 5 a 10, c 6, b2 102 62 64.

由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上， 所以所求椭圆的标准方程为 ： 2 2 2 2 x y y x 1或 1. 100 64 100 64

例3

如图8-8,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以 地心F2作为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A距地面439km, 远地点B距地面2384km,并且F2、A、B在同一直线上，地球 半径约为6371km,求卫星运行的轨道方程(精确到1km).

解：如图8-8,建立直角坐标系，使点A、B、F2在x轴上，F2为椭圆的右焦点(记F1为左焦点).

因为椭圆的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为 ： 2 2

a=3,b=2,

x y 2 1( a b 0) 2 a b a c OA OF2 F2 A 6371 439 6810用计算器求得 : b=7722

a c OB OF2 F2B 6371 2384 8755

解得 ：a=7782.5 , c=972.5因此，卫星的轨道方程是 :

b a 2 c 2 (a c)( a c)

8755 6810

x2 y2 1 2 2 7783 7722

方 程

x y 2 1 2 a b

2

2

y B2

y aB1

2 2

A2 Y_

x b

2

2

1

图 形

F1

F2

A1

0

A2

x

F1 O F2

B2

_

X

B1范 围 对 称 性

A1

a x a, b y b

b x b, a y a

关于x轴，y轴，原点对称。A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)

顶 A (-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0, b) 点 1 离 心 率

c e (0 e 1) a