复变函数论第3章第4节

复变函数论 第二版 钟玉泉著 高等教育出版社

§4 解析函数与调和函数的关系1、调和函数的定义 2、解析函数与调和函数的关系

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1、调和函数的定义 、由上节知 , 区域 D 内的解析函数具有任意 阶的

因此， 导数 , 因此， 在区域 D 内它的实部 u 与虚部 v 都有二阶连续偏导数 . 现在来研究应如何选择 u与 v才能使

u + iv在区域 D 内解析 .设 f ( z ) = u + iv 为 D 内的一个解析函数 ,那末 从而

u v u v = , = , y x y x 2 u 2v 2 u 2v , 2 = . 2 = y x y x y x

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根据解析函数高阶导数定理, 根据解析函数高阶导数定理

2 u 2v 2u 2v = , = 2 2 x y y x y x

u 与 v 具有任意阶的连续偏导 数 , 所以

2v 2v , = y x x y从而有 2u 2u 2v 2v 0 , 同理可得 0. 2 + 2 = 2 + 2 = x y x y

即 u 及 v 在 D 内满足拉普拉斯 ( Laplace ) 方程 ： u = 0 , v = 0 . 2 2 这里 ≡ 2 + 2 是一种微分算子 ， x y

称为 拉普拉斯算子.

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定义3.5 如果二元实函数 φ ( x , y ) 在区域 D内具有 定义

二阶连续偏导数 , 并且满足拉普拉斯方程 2φ 2φ 0, 2 + 2 = x y 那末称 φ ( x , y ) 为区域 D 内的 调和函数.调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问 题中有很重要的应用. 题中有很重要的应用 定义3.6 在区域 D 内满足 C R 方程 定义 u v u v = , = , x y y x 称为u 共轭调和函数. 的两个调和函数 u、v 中 , v 称为 的

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2、解析函数与调和函数的关系 、定理 3.18在区域 D 内解析的函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ),其虚部 v ( x , y ) 必为实部 u( x , y ) 的共轭调和函数 .

由调和函数的定义可知 , 任取 D 内的两个调和函 数 u、v , 则 u + iv 在 D 内不一定构成解析函数 . 、若使 u + iv 在区域 D 内解析 , 则 u 及 v 还需满足 C R 方程 , 且 v 为 u 的共轭调和函数 . 因此 , 若已知一个解析函数的 实部 u( x , y )(或虚部v ( x , y )), 就可以求出它的虚部 v ( x , y )(或实部 u( x , y )).

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设 D 是单连通区域 , u( x , y ) 是区域 D 内的调和函数 , 则 u( x , y ) 在 D 内具有二阶连续偏导数 , 而且

2u 2u 0, 2 + 2 = x y即

u u = , y y x x

u u 由数学分析知 ， 表达式 dx + dy 是某一函数 y x 的全微分 .

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设 则

u u dx + dy = dv ( x , y ), y x

( 3.10) ( 3.11)

u u v( x, y) = ∫ dx + dy + C ( x0 , y0 ) y x( x, y)

( ( 其中 ( x0 , y0 ) 、x , y ) 是 D 内两点 ， x , y ) 为动点 ，

并且上述积分与路径无 关 .

将 ( 3.22) 式分别对 x, y 求偏导数 ， 得 v u = , x y v u , = y x

这

就是 C R 方程 , 从而可知 u + iv 是解析函数 .

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v( x, y ) = ∫

( x, y)

( x0 , y0 )

u u dx + dy + C ( 3.11) y x

定理 3.19 设 u( x , y ) 是在单连通区域 D 内的调和函数 ， u u 则存在函数 v ( x , y ) = ∫ dx + dy + C , 使 ( x 0 , y0 ) y x( x, y)

u + iv = f ( z ) 是 D 内的解析函数 .

注意 (1) 公式 ( 3.22 ) 可由下列关系式得出 ：dv ( x , y ) = v x dx + v y dyC R

u y dx + ux dy ,

两端积分可得出 v ( x , y ) ;

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( 2) 同样地， 同样地， 由已知调和函数 v ( x , y ) 出发 , 可求出 函数 u( x , y ) , 使 u + iv = f ( z ) 为解析函数 :

du( x , y ) = ux dx + u y dy两端积分， 两端积分，有

C R

=

v y dx v x dy( 3.11)′

u( x , y ) = ∫

( x, y)

( x 0 , y0 )

v y dx v x dy + C .

如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用柯西 -黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而构成一个 解析函数u+vi. 解析函数 由已知调和函数，求解析函数的方法 由已知调和函数，求解析函数的方法—— 曲线积分法，偏积分法 曲线积分法，偏积分法.

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例 1 验证 u( x , y ) = y 3 3 x 2 y 是 z 平面上的调和 并求其共轭调和函数 v ( x , y ) 和由它们构成 函数 ， 的解析函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) .解 (1) 因在 z 平面上有 ux = 6 xy , uxx = 6 y ,u y = 3 y 2 3 x 2 , u yy = 6 y ,

于是

uxx + u yy = 0,

故 u( x , y ) 为调和函数 .

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u( x , y ) = y 3 3 x 2 y

y

( 2) 解法一 (曲线积分法 曲线积分法) 曲线积分法( 由 dv = v x dx + v y dy = u y dx + ux dy )o

( x, y)( x ,0 ) x

由于 v ( x , y ) =

∫( 0,0)( x ,0 ) ( 0,0 ) ( x, y)

( x, y)

( 3 x 2 3 y 2 )dx 6 xydy + C

=∫ +∫

( 3 x 2 3 y 2 )dx 6 xydy

( x ,0)

( 3 x 2 3 y 2 )dx 6 xydy + C2

= ∫ 3 x dx ∫ 6 xydy + C 00

x

y

= x 3 3 xy 2 + C ,

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u( x , y ) = y 3 3 x 2 y v ( x , y ) = x 3 3 xy 2 + C 从而得一个解析函数

f ( z ) = u + iv = y 3 3 x 2 y + i ( x 3 3 xy 2 + C ).这个函数可化为 f ( z ) = y 3 3 x 2 y + i ( x 3 3 xy 2 ) + iC

解法二

(偏积分法 偏积分法) 偏积分法

= i ( z 3 + C ).

v u 因为 = = 6xy , y x 所以 v = 6 ∫ xydy = 3xy 2 + g(x), u v 2 3 y + g ′( x ) = = 3 y 2 + 3 x 2 , 又由 = y x

得

g ′( x ) = 3 x 2 .

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u( x , y ) = y 3 3 x 2 y

v = 3xy2 + g( x)

g′( x) = 3x2 . 得从而 g ( x ) = ∫ 3 x 2dx = x 3 + C ,故得 u( x , y ) 的共轭调和函数 :

v ( x , y ) = x 3 3 xy 2 + C ,

由 u( x , y ) 及 v ( x , y ) 可构成解析函数f ( z ) = y 3 3 x 2 y + i ( x 3 3 xy 2 + C ).这个函数可以化为 f ( z ) = i ( z 3 + C ).

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练习 1. 证明 u( x , y ) = x 3 6 x 2 y 3 xy 2 + 2 y 3 为调和函数 ,

并求其共轭调和函数 .

v( x, y) = 3x2 y 6xy2 y3 + 2x3 + C. (C为任意常数) f (z) = z3 + i(2z

3 + C)y 2. 验证 v ( x , y ) = arctan ( x > 0) 在右半 z 平面 x 是调和函数 ， 并求以此为虚部的解析 函数 f (z ) . 1 y 2 2 f (z) …… 此处隐藏：2821字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……