九年级数学《二次函数y=ax2+k图象和性质》课件

26.1二次函数y=ax2+k图象和性质(2)

二次函数y=ax2的性质y=ax2 图象 开口向上 开口向下 a>0 a<0

开口对称性 顶点

a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴为y轴(或直线x=0) 顶点坐标是原点(0,0)

顶点是最低点 在对称轴左侧y随x增大 增减性 而减小;在对称轴右侧y

顶点是最高点 在对称轴左侧y随x增大而 增大;在对称轴右侧y随x

例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 -1的图像 x …-3 -2 -1 0 1 2 3 … 解: 先列表 y=x2 …9 4 1 0 1 4 9 … y=x2+1 …10 5 2 1 2 5 10 … 然后描点画 图, y=x 得到 y=x2,y=x2+1, 2-1 …8 3 0 -1 0 3 8 … y y=x2-1的图像. 10 y=x2+1观察：当自变量取同一数值时，这 三个函数的函数值之间有什么关系？ 反映在图像上，相应的两个点之间 的位置又有什么关系？9 8 7 6 5 4 3 2 1

y=x2-1

观察着三个函数的图像，分别说出 他们的开口方向、对称轴和顶点坐 标。它们有哪些是相同的？又有哪 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 些不同？

x

结论：当自变量取同一数值时，函数y=x2+1的函数值 都比y=x2函数的函数值大1,反映在图像上，函 数y=x2+1的图像上的每一点都在函数y=x2的图 像上相应点的上方一个单位。函数y=x2+1开口向上,对称轴是y轴,顶点为(0,1). 当自变量取同一数值时，函数y=x2-1的函数值都 比y=x2函数的函数值小1,反映在图像上，函数 y=x2+1的图像上的每一点都在函数y=x2的图像 上相应点的下方一个单位。函数y=x2-1开口向上, 对称轴是y轴, 顶点为(0, -1).

抛物线y=x2+1,y=x2-1与抛物线y=x2的关 系: 2 向上平移抛物线y=x

1个单位 抛物线y=x2 向下平移 抛物线 y=x2-1 1个单位 y把抛物线y=2x2+1向上平 移5个单位,会得到那条抛物线? 向下平移3.4个单位呢? (1)得到抛物线y=2x2+6 (2)得到抛物线y=2x2-2.410 9 8 7 6 5 4 3 2 1

抛物线 y=x2+1

y=x2+1y=x2

y=x2-1x

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5

据此，可由函数y=x2的性质，得到函 数y=x2+1的一些性质;

当x_时，函数值y随x的增大而减小； 当x_时，函数值y随x的增大而增大； 当x_时，函数取得最_值，最值y= _.

在同一直角坐标系中 画出函数 y 1 x 2 3 1 2 y x 2 3 1 2 y x 2 3 的图像

5 4 3 2 1

y

x 1 2 3 4 51 2 y x 2 3 1 2 y x 3

–5 –4 –3 –2 –1 O –1 –2 1 2 y x 2 –3 3 –4 –5

试说出函数y=ax2+k(a、k是常数，a≠0)的图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表.

向上 向下

y轴 y轴

(0,k) (0,k)

二次函数y=ax2+k的性质y=ax2+k a>0 a<0

图象

开口

开口向上 开口向下 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴为y轴(或直线x=0)(0,k)

对称性顶点

顶点是最低点增减性

顶点是最高点在对称轴左侧y随x增

大而增大 在对称轴右侧y随x增 大而减小

在对称轴左侧y随x增 大而减小 在对称轴右侧y随x增 大而增大

(1)抛物线y= 2x2+3的顶点坐标是 是 ，在___

,对称轴

侧，y随着x的增大而 ,它是由抛物线y=

增大；在

侧，y随着x的增大而减小，当x= _____

时，函数y的值最大，最大值是

2x2线怎样平移得到的__________.( 2)抛物线 y= x² 的顶点坐标是____,对称轴是 -5 ____,在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称 轴的右侧，y随着x的 ，当x=____时，函数y的 值最___,最小值是 .

做一做：1、按下列要求求出二次函数的解析式： (1)已知抛物线y=ax2+c经过点(-3,2)(0,-1),求该抛物 线线的解析式。 (2)形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶 点坐标是(0,1)的抛物线解析式。 (3)对称轴是y轴，顶点纵坐标是-3,且经过(1,2)的点的 解析式，

2、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数 y=ax2+c的图象大致是如图中的( ) yyy

y

o

x

o

x

o

x

o

x

A

B

C

D

3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是( A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状

)

4.已知抛物线y=2x2–1上有两点(x1,y1 ) ,(x2,y2)且 x1<x2<0,则y1 y2(填“<”或“>”)1 2 5、已知抛物线 y x ,把它向下平移，得到的 2

抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若 ⊿ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几 个单位？

二次函数y=ax2+k的性质y=ax2+k a>0 a<0 图象

知 识 总 结

开口 对称性 顶点

开口向上 开口向下 a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称，对称轴为y轴(或直线x=0) (0,k)

顶点是最低点在对称轴左侧y随x增 大而减小 在对称轴右侧y随x增 大而增大

顶点是最高点在对称轴左侧y随x增 大而增大 在对称轴右侧y随x增 大而减小

增减性

抛物线y=ax2与y=ax2+k抛物线的关系：①、开口方向、开口大小对称轴都一样，只是 顶点坐标不一样，抛物线y=ax2的顶点坐标为 (0,0),抛物线y=ax2+k的顶点坐标为(0,k)。②、抛物线y=ax2通过平移可以得到抛物线 y=ax2+k : 当x﹥0时抛物线y=ax2向上平移k个单位得 到抛物线y=ax2+k ;当x﹤0时抛物线y=ax2向下 平︱k︱个单位得到抛物线y=ax2+k 。

2、你的收获与体会

作业：1、若二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象上有两点(x1,5),(x2,5)且x1≠x2,则当x 取x1+x2时，求此时 的函数值。 2、已知把二次函数y=ax2+c的图像向下平移5个单位后 得到抛物线y=-2x2-1求a、c的值。 3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象过正方形ABOC 三个顶点A,B,C, 的 与x轴交于(1,0)求a的值