电工学 电容,电感元件

4-1电容元件与电感元件主讲人：谢骁 刘平 叶锐 杨勋

㈠电容元件的定义

在电路理论中，电容元件是实际电容器 的理想化模型，其定义为：一个两端元件， 如果在任一时刻t,它所存储的电荷q(t)与其 端电压u(t)之间的关系可以用u(t)-q(t)平面 上的一条曲线来确定,则称该两端元件为电 容元件。

㈡电容的分类

如果u(t)-q(t)平面上的曲线为过原 点的直线，则称其为线性电容，否则 为非线性电容。若曲线不随时间变化， 称为非时变电容，否则称为时变电容。

㈢线性非时变电容u(t)-q(t)关系 线性电容存储电荷q(t)和端电压u(t)有如下 关系: q(t)=Cu(t) (4-1)

上式中C为与电荷,电压无关的常量,表示元 件存储电荷的能力,称为电容

㈣电容的单位

在国际单位制中，电容C的单位为法拉 (F),但因法拉这个单位太大，所以 通常采用微法(μF)或皮法(pF)作 为电容的单位，其换算关系为

1F 10 F,6

1 F 10 pF6

㈤电容的伏安关系 设电容上流过电流与其两端电压为关联参 考方向，如图所示，则根据电流的定义有

dq(t ) i(t ) dtdu(t ) i(t ) C dt

(4 2)

将式(4-1) q(t)=Cu(t)代入(4-2)可得

(4 3)。

式(4-3)所描述的即是电容的伏安关系

㈥电容基本性质

1.电容上流过的电流与它两端电压的变化 率成正比。 隔直流 通交流 .频率越高，阻抗越小.

2.当电容上流过的电流为有限值时，其电压的变 化率也必为有限值。这说明电容两端的电压只 能连续变化，而不能发生跃变。电容电压连续 性，可表示为

u(t ) u(t )

(4-4)

等式两边分别为电容电压在t时刻左右极限值.上 式说明在 t 和 t 时刻电压值是相等的。在动态 电路分析中常用这一结论，并称之为“换路理 论”。

3.电容是一种“有记忆”的元件。在式(4-3) du(t ) 可得 i(t ) C dt

1 t 1 t0 1 t u (t ) i( )d ( ) i( )d i( )d C - C - C t0

1 t u(t0 ) i( )d C t0

(4-5)

由式(4-5)知，任一时刻电容上电压不仅取决于该 时刻的电流值，而且取决于从-∞到所有时刻的电流 值，即与t时刻之前电流的全部历史有关,所以电容 是一种“有记忆”元件。式(4-5)中u( )称为电 t0 t0 容的初始电压,反映 时刻之前电流的全部作用。

㈦电容的储能 在电容的u(t)和i(t)为关联参考方向下，其吸 收的瞬时功率为 P(t)=u(t)i(t) (4-6)dW (t ) 由功率的定义 p(t ) ,可得在t时刻电 dt

容吸收的电能为 t t W (t ) p(t )dt u (t )i (t )dt

u (t ) du(t ) C u(t ) dt C u(t )du(t ) u ( ) dt 1 1 2 Cu (t ) Cu 2 ( ) 2 2 t

因为u=(-∞)=0,

故

1 2 W (t ) Cu (t ) 2

上式表明,任一时刻

电容的储能只与该时刻 电容的电压有关。当电容充电时，储能增 加；电容放电时，储能减少。

【例4-1】图4-3﹝a﹞所示电容中电流 ic 的波形如图4-3

所示，已知 ﹙b﹚ 的电压。iC

u ﹙0﹚=0,试分别求t=1s,t=4s时电容上c10 0 -10

iC/At/s

+

uC(a)

2F

1

2

3

4

5

(b)

解：由ic (t )的波形可写出其数学表 达式为

5tA ic (t ) 10 A

0<t<2s

t>2s

10 0 -10

iC/At/s

1

2

3

4

5

(b)

1 t u(t ) u(t0 ) i( )d 由式 C t0 1 t u (t ) uc (0) ic (t )dt 可得： c C 0所以

1 1 uc (1) uc (0) ic (t )dt C 0

1 1 V 0 5tdt 1.25 2 0

10 0 -10

iC/At/s

1

2

3

4

5

(b)

1 4 uc (4) uc (0) ic (t )dt C 01 2 1 4 5tdt ( 10)dt 2 0 2 0

5V

【例4-2】 电路如图4-4(a)所示，开关打开前电路已 处于稳态，在t=0时刻将开关k打开，求电容的初始值

uc (0 )

t=0 + 2Ω 10v _ 4Ω k 0.5f 4Ω2Ω + 10V + 4Ω

uC-

4Ω

解:因为在t<0时，电路已达到稳态，所以电容可看作开路 这时其等效电路如图4-4(b)所示，可求得电容两端的电 压 为 4 // 4

(b)

uc 0 2 4 // 4 10 5v

根据换路定则，可得

所以开关打开时，电容的初始值为5v.在这例题中，开关在t=0时刻打开，使电路的结构和 参数突然发生变化，一般将这一过程称为换路。 在动态电路中，换路后的电路初始值的确定是非常 重要的，这一例题给出了最基本的方法。

u c(0

) uc

0 5v